Injektivität

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Illustration einer Injektion:
Jedes Element von Y hat höchstens ein Urbild: A, B, D je eines, C keines.

Injektivität oder Linkseindeutigkeit ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion oder Abbildung bzw. Relation. Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation.

Eine Funktion f:X\to Y ist injektiv, wenn es zu jedem Element y der Zielmenge Y höchstens ein (also eventuell gar kein) Element x der Ausgangs- oder Definitionsmenge X gibt, das darauf zielt: f(x)=y, wenn also nie zwei verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet werden. Die Zielmenge kann dafür nicht kleiner als die Definitionsmenge sein, d.h., sie kann nicht weniger Elemente enthalten.

Die Bildmenge \{f(x)|x\in X\} darf eine echte Teilmenge der Zielmenge Y sein, d.h. es kann Elemente y\in Y geben, die keine Bildelemente f(x) sind, wie es in der abgebildeten Grafik rechts der Fall ist. Dies macht den Unterschied zu einer bijektiven Abbildung aus, von der außer Injektivität noch verlangt wird, dass jedes Element der Zielmenge als Bildelement f(x) auftritt.

Dass eine Abbildung f:X\to Y injektiv ist, wird gelegentlich mit dem Zeichen f:X\hookrightarrow Y ausgedrückt, dass sich aus den Zeichen \subset und \to zusammensetzt. Es erinnert an die Einbettung einer Menge X in eine Obermenge Y durch eine Funktion f:X\to Y die jedes Element von X auf sich selbst abbildet, f(x)=x .

Formale Definitionen[Bearbeiten]

Seien X und Y Mengen, sowie f\colon\, X \to Y eine Abbildung von X nach Y.
Die folgenden Definitionen für Injektivität sind äquivalent:

  • f heißt injektiv, wenn zu jedem y aus Y höchstens ein x aus X existiert mit f(x) = y. („Höchstens eines“ bedeutet dabei: keines oder genau eines, aber nicht mehrere.)
    Formal: \forall y \in Y\  (\exists! x \in X\colon\, f(x) = y\vee \neg (\exists x \in X\colon\, f(x) = y)).
  • f heißt injektiv, wenn aus der Gleichheit von Funktionswerten (y-Werten) die Gleichheit der in die Funktion eingesetzten x-Werte folgt.
    Formal: \forall x_1, x_2 \in X\colon\, (f(x_1)= f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)
  • f heißt injektiv, wenn ungleiche x-Werte stets auf ungleiche y-Werte abgebildet werden.
    Formal: \forall x_1, x_2 \in X\colon\, (x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2))

Verwendet man die dritte Definition zum Nachweis der Injektivität, führt dies oft zu einem Widerspruchsbeweis. Der direkte Beweis mit der zweiten Definition kann eleganter und kürzer sein.

Beispiele und Gegenbeispiele[Bearbeiten]

Nicht-injektive Funktion
  • Jede Funktion \{\bullet, \bullet\} \to \{\bullet\} von einer zweielementigen Menge in eine einelementige ist nicht injektiv.
  • Unmathematisches Beispiel: Die Funktion, die jedem Bürger der Bundesrepublik Deutschland mit Personalausweis die Nummer seines aktuellen Personalausweises zuordnet, ist injektiv, wobei als Zielmenge die Menge aller möglichen Personalausweisnummern angenommen wird (Denn Personalausweisnummern werden nur einmal vergeben).
  • \N bezeichne die Menge der natürlichen und \Z die Menge der ganzen Zahlen.
f_1\colon\, \N \rightarrow \N,\, x \mapsto 2x ist injektiv.
f_2\colon\, \Z \rightarrow \Z,\, x \mapsto 2x ist injektiv.
f_3\colon\, \N \rightarrow \N,\, x \mapsto x^2 ist injektiv.
f_4\colon\, \Z \rightarrow \Z,\, x \mapsto x^2 ist nicht injektiv, da z. B. f(1) = f(-1) gilt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Man beachte, dass die Injektivität einer Funktion f\colon\, A \to B nur vom Funktionsgraphen \{(x, f(x)) \mid x \in A\} abhängt (im Gegensatz zur Surjektivität, die auch von der Zielmenge B abhängt, welche man am Funktionsgraphen nicht ablesen kann).
  • Eine Funktion f\colon\, A \to B ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen X,Y \subseteq A gilt: f(X \cap Y)=f(X) \cap f(Y)\!\,.
  • Eine Funktion f\colon\, A \to B ist genau dann injektiv, wenn  f^{-1}\big(f(T)\big) = T für alle  T \subset A .
  • Sind die Funktionen f\colon\, A \to B und g\colon\, B \to C injektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung) g \circ f\colon\, A \to C.
  • Aus der Injektivität von g \circ f folgt, dass f injektiv ist.
  • Eine Funktion f\colon\, A \to B mit nichtleerer Definitionsmenge A ist genau dann injektiv, wenn f eine Linksinverse hat, also eine Funktion g\colon\, B \to A mit g \circ f = \operatorname{id}_A (wobei \operatorname{id}_A die identische Abbildung auf A bezeichnet).
  • Eine Funktion f\colon\, A \to B ist genau dann injektiv, wenn sie linkskürzbar ist, also für beliebige Funktionen g, h\colon\, C \to A mit f \circ g = f \circ h folgt g = h. (Diese Eigenschaft motiviert den in der Kategorientheorie verwendeten Begriff Monomorphismus, jedoch sind bei allgemeinen Morphismen injektiv und linkskürzbar nicht mehr äquivalent.)
  • Jede beliebige Funktion f\colon\, A \to B ist darstellbar als Verkettung f = h \circ g, wobei g surjektiv und h injektiv (nämlich eine Inklusionsabbildung) ist.
  • Eine stetige reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist genau dann injektiv, wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist, d.h., wenn für zwei beliebige Zahlen a und b aus dem Definitionsbereich gilt: Aus a < b folgt f(a)<f(b) (steigend), bzw. aus a < b folgt f(a) > f(b) (fallend).
Drei injektive streng monoton steigende reelle Funktionen.
Drei injektive streng monoton fallende reelle Funktionen.

Mächtigkeiten von Mengen[Bearbeiten]

Eine wichtige Rolle spielt der Begriff der Injektion in der Mengenlehre bei Definition und Vergleich von Mächtigkeiten, einem Begriff, der die Elementeanzahl von endlichen Mengen auf beliebige Mengen verallgemeinert. Zwei Mengen X,Y heißen „von gleicher Mächtigkeit“, wenn es sowohl eine Injektion von X nach Y als auch eine solche von Y nach X gibt (In diesem Fall existieren auch Bijektionen von der einen auf die andere Menge). Dagegen heißt X von geringerer Mächtigkeit als Y, wenn es zwar eine Injektion von X nach Y, aber keine von Y nach X gibt.

Schubfachschluss[Bearbeiten]

Ein in Beweisen insbesondere der Zahlentheorie häufiges Schlussschema benutzt die Feststellung, dass eine Abbildung f einer endlichen Menge X in eine Menge Y mit weniger Elementen nicht injektiv sein kann, dass es also Elemente a,b\in X gibt, a\ne b, mit gleichem Bild: f(a) = f(b). Wegen der Vorstellung von vielen Objekten in weniger Schubfächern heißt das ein Schubfachschluss.

Anzahl injektiver Abbildungen[Bearbeiten]

Die Anzahl der möglichen injektiven Abbildungen von einer Definitionsmenge A in eine gegebene endliche Zielmenge B mit der Eigenschaft |B| \geq |A| ist gegeben durch:

|B|\cdot (|B|-1) \cdot \ldots \cdot (|B|-|A|+1) = \frac{|B|!}{(|B|-|A|)!} = |A|! \cdot \binom{|B|}{|A|}.

Dies entspricht in der Kombinatorik einer Variation ohne Wiederholung.

Geschichte[Bearbeiten]

Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam erst in der Mitte des 20. Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf. Wahrscheinlich wurde das Wort injektiv ebenso wie bijektiv und surjektiv in den 1930ern von N. Bourbaki geprägt. Das Substantiv Injektion wurde 1950 von S. MacLane, das Adjektiv injektiv 1952 in den Foundations of algebraic topology von Eilenberg und Steenrod eingeführt[1].

Es herrscht stellenweise große Verwirrung bezüglich der Zuordnung zwischen den Begriffen Eineindeutig einerseits und Injektiv bzw. Bijektiv andererseits. Quellen (Lehrbücher) aus der reinen Mathematik favorisieren Injektiv, „fachfremde“ Quellen favorisieren teilweise eher Bijektiv. Es sollte daher besser davon abgesehen werden, das Wort Eineindeutig in diesem Zusammenhang zu verwenden.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics

Weblinks[Bearbeiten]