Hermitesches Polynom

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Plots der ersten fünf Hermiteschen Polynome Hn

Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:

bzw.

Die Hermiteschen Polynome (mit einem festen ) sind Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung, einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

Explizite Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung

also

Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen :

Da bei jedem Iterationsschritt ein hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass ein Polynom von Grade ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz ist . Für gerade treten ausschließlich gerade Potenzen von auf, entsprechend für ungerade nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität

ausdrücken lässt.

Die rekursive Darstellung der o.g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution auch wie folgt schreiben:

Pascal-Quelltext[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der bekannten Anfangsbedingungen und lassen sich die Funktionswerte mit folgender rekursiver Pascal-Funktion leicht berechnen:

 Function Hermite(n:Byte;x:Extended):Extended;
   Function Go(m:Byte; p,q:Extended): Extended;
   Begin
     If n=m Then Go := p
            Else Go := Go(m+1, q, 2*x*q - 2*(m+1)*p)
   End;
 Begin
   Hermite := Go(0, 1, 2*x)
 End;

Die allgemeinere Ableitungsformel lässt sich wie folgt umsetzen:

 Function HermiteAbleitung(n,m:Byte;x:Extended):Extended;
 Begin
  If m=0 Then HermiteAbleitung:=Hermite(n,x)
         Else
   If n<m Then HermiteAbleitung:=0
          Else If m=1 Then HermiteAbleitung:=2*n*Hermite(n-1,x)
                      Else HermiteAbleitung:=2*n*HermiteAbleitung(n-1,m-1,x)
 End;

Orthogonalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion die Orthogonalitätsrelation

Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.

Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Plots der ersten fünf hermiteschen Polynome Hen (Physiker Konvention)

Eine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome (Physiker Konvention) ist

Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion orthogonal

und erfüllen die Differentialgleichung

Sie lassen sich rekursiv durch

bestimmen.

Binomischer Lehrsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz. Für ist

Index mit negativem Wert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung der komplementären Fehlerfunktion ist

.

Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermaßen geschrieben werden:[1]

,

sodass man für findet:

.

Die Funktionen höherer Indizes berechnen sich als:

oder rekursiv mit .

Die so erhaltenen Funktionen genügen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung.

Sie lauten:

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.

Eine weitere Anwendung finden sie in der Finite-Elemente-Methode als Formfunktionen.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung lässt sich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, deren Index negative Werte hat.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formel von Faà di Bruno

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Hermite Polynomial. In: MathWorld (englisch).