Hilbert-Modul

In der Mathematik sind Hilbert-Moduln eine Verallgemeinerung von Gruppenringen. Eine weitere Verallgemeinerung sind Hilbert-C*-Moduln.

Definitionen

Für eine abzählbare Gruppe $G$ mit Gruppenring $\mathbb {C} G$ bezeichnet $l^{2}G$ die Vervollständigung von $\mathbb {C} G$ bzgl. des Skalarprodukts

$\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\rangle =\sum _{g\in G}{\overline {a_{g}}}b_{g}$.

$l^{2}G$ ist ein Hilbert-Raum mit einer $G$-Wirkung.

Ein Hilbert-$G$-Modul ist ein komplexer Hilbert-Raum $V$ mit einer $C$-linearen isometrischen $G$-äquivarianten Einbettung

$V\to (l^{2}G)^{n}$

für ein $n\in \mathbb {N}$.

Ein Morphismus von Hilbert-$G$-Moduln $f\colon V\to W$ ist eine $G$-äquivariante beschränkte $\mathbb {C}$-lineare Abbildung.

Literatur

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).