Hilbert-C*-Modul

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Hilbert-C*-Moduln werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Sie spielen eine wichtige Rolle im Aufbau der KK-Theorie, die Elemente der dort auftretenden Gruppen sind solche Moduln mit einer gewissen Zusatzstruktur. Hilbert-C*-Moduln sind in Analogie zu Hilberträumen definiert, wobei das innere Produkt Werte in einer C*-Algebra annimmt. Sie wurden 1953 von Irving Kaplansky für den Fall kommutativer C*-Algebren eingeführt[1] und 1973 von William Paschke für den allgemeinen Fall.[2]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine C*-Algebra. Ein Prä-Hilbert--Modul ist ein Rechts-B-Modul zusammen mit einer Abbildung , so dass

  1. ist sesquilinear (konjugiert linear in der ersten Variablen)
  2. für alle
  3. für alle
  4. für alle , wobei die durch die positiven Elemente definierte Ordnung auf sei.
  5. für alle .

Die offenbare Analogie zur Definition eines Hilbertraums lässt sich weiter ausbauen. Man zeigt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

für alle (ohne Verwendung der fünften Bedingung)

und erhält so eine Halbnorm

auf , die wegen der 5. Bedingung sogar eine Norm ist. Ist der Prä-Hilbert--Modul bezüglich dieser Norm vollständig, so nennt man ihn einen Hilbert--Modul.[3] Der wesentliche Unterschied zu Hilberträumen besteht darin, dass man keinen Projektionssatz beweisen kann, das heißt, es gibt Unter-Hilbert--Moduln, die nicht stetig projizierbar sind.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine C*-Algebra ist mit der Definition ein Hilbert--Modul. Dessen Unter-Hilbert-B-Moduln sind die abgeschlossenen Rechtsideale. ist als Hilbert--Modul genau dann abzählbar erzeugt, das heißt, es gibt eine abzählbare Teilmenge, so dass der kleinste diese Menge umfassende Untermodul ist, wenn σ-unital ist.
  • Ein Hilbertraum ist ein Hilbert--Modul.
  • Für eine C*-Algebra sei der Raum aller Folgen , für die konvergiert. Mit der Definition wird zu einem Hilbert--Modul. Offenbar ist der separable Folgenraum der quadratsummieren Folgen.

Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Direkte Summen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Direkte Summen von Hilbert--Moduln sind mit der Definition offenbar wieder Hilbert--Moduln.

Algebren von Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für zwei Hilbert--Moduln und sei die Menge aller Operatoren , für die es einen Operator gibt, so dass gilt für alle und . Man zeigt, dass solche Operatoren -linear sind und einen abgeschlossenen Unterraum der stetigen, linearen Operatoren bilden. ist mit der Operatornorm und der Involution eine C*-Algebra.[4] Im Spezialfall ist isomorph zur Multiplikatorenalgebra von .

Gewisse Operatoren aus lassen sich wie folgt in Analogie zu den eindimensionalen Operatoren auf Hilberträumen definieren. Sind und , so sei . Man bestätigt leicht die Formel und somit . Den von diesen Operatoren erzeugten, abgeschlossenen Unterraum bezeichnet man mit und nennt seine Elemente die kompakten Operatoren von nach , auch wenn es sich im Allgemeinen nicht um kompakte Operatoren im Sinne der Banachraumtheorie handelt. Leicht bestätigt man für ein , woraus folgt, und ganz ähnlich auch . Damit ist ein zweiseitiges Ideal. Offenbar ist das Ideal der kompakten Operatoren auf .

Diese Konstruktionen hängen wie folgt zusammen: Für jede C*-Algebra und jeden Hilbert--Modul ist isomorph zur Multiplikatorenalgebra .[5] Insbesondere gibt einen *-Isomorphismus , der auf abbildet.[6]

Unitäre Äquivalenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Hilbert--Moduln und heißen unitär äquivalent, in Zeichen , wenn eine bijektive, lineare Abbildung gibt mit für alle .

Innere Tensorprodukte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein Hilbert--Modul, ein Hilbert--Modul und ein *-Homomorphismus. Durch die Formel wird zu einem Links--Modul und man kann daher das algebraische Tensorprodukt bilden, das durch die Definition zu einem Rechts--Modul wird. Durch die Formel

erhalten wir mittels linearer Ausdehnung eine Sesquilinearform auf , die alle Regeln aus der Definition des Prä-Hilbert--Moduls erfüllt bis auf eventuell Punkt 5, das heißt, es kann Vektoren der Länge 0 geben. Indem man den Raum der Vektoren der Länge herausdividiert, das heißt zum Faktorraum nach übergeht, und anschließend vervollständigt, erhält man einen Hilbert--Modul, den man mit bezeichnet und das innere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.[7]

Äußeres Tensorprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien wieder ein Hilbert--Modul und ein Hilbert--Modul. Dann ist das algebraische Tensorprodukt mittels der Definition

ein Rechts--Modul und man erhält mittels linearer Ausdehnung aus

eine Sesquilinearform. Ist das räumliche Tensorprodukt der C*-Algebren, so konstruiert man durch Herausdividieren von Vektoren der Länge 0 und durch Ausdehnen auf die Vervollständigungen einen Hilbert--Modul, den man mit bezeichnet und das äußere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.[8]

Pushout[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Hilbert--Modul und ein surjektiver *-Homomorphismus, so definiere . Ist die Quotientenabbildung, so wird durch die Definitionen

, wobei mit
,

deren Wohldefiniertheit zu zeigen ist, ein Hilbert--Modul, den man den Pushout von bzgl. nennt. Man kann zeigen, dass , indem man als Unteralgebra von auffasst.[9]

Graduierte Hilbert-C*-Moduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Besonders für die KK-Theorie werden Hilbert-C*-Algebren mit einer Zusatz-Struktur, einer sogenannten Graduierung, genauer einer -Graduierung verwendet. Es sei eine graduierte C*-Algebra mit Graduierungsautomorphismus , das heißt, es ist

Dann ist die direkte Summenzerlegung zur -Graduierung. Ein graduierter Hilbert--Modul ist ein Hilbert--Modul zusammen mit einer linearen Bijektion , so dass

für alle
für alle [10]

Wieder erhält man eine direkte Summenzerlegung , wobei

und es folgt

und für alle .

Durch den Automorphismus erhalten dann auch und eine Graduierung.

Graduierte Hilbert-C*-Moduln heißen unitär äquivalent, wenn sie als Hilbert-C*-Moduln unitär äquivalent sind mit einem unitären Operator, der die Graduierung erhält.

Dies verallgemeinert die oben eingeführten Begriffe ohne Graduierung, denn jede C*-Algebra kann mittels trivial graduiert werden und ebenso jeder Hilbert--Modul mittels .

Um auch zu graduieren, hat man zwei Möglichkeiten, nämlich und . Wir definieren daher

mit der Graduierung .

Die oben angeführten Konstruktionen lassen sich auch für graduierte Hilbert-C*-Moduln definieren, wobei das graduierte Tensorprodukt zu nehmen ist und alle auftretenden Morphismen mit den Graduierungen verträglich sein müssen. Die hiermit zusammenhängenden Einzelheiten sind sehr technisch und werden hier übergangen.

Stabilisierungssatz von Kasparow[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die KK-Theorie erweist sich der sogenannte Stabilisierungssatz von Kasparow als wichtig. Dieser Satz gilt für graduierte und nicht-graduierte Hilbert-C*-Moduln, er sagt aus, dass bereits alle abzählbar erzeugten Hilbert-C*-Moduln als direkte Summanden enthält, und analog für graduierte Moduln. Es gilt sogar etwas mehr:[11]

  • Ist ein abzählbar erzeugter Hilbert--Modul über einer C*-Algebra , so ist .
  • Ist ein abzählbar erzeugter, graduierter Hilbert--Modul über einer graduierten C*-Algebra , so ist .

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. I. Kaplansky: Modules over operator algebras, Amer. J. of Math. (1953), Band 75, Seiten 838-858
  2. W. L. Paschke: Inner product moduls over B*-algebras, Transactions Amer. Math. Soc. (1973), Band 182, Seiten 443-468
  3. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 13.1.1
  4. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.1.7
  5. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 13.4.1
  6. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.2.7
  7. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Abschnitt 1.2.3
  8. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Abschnitt 1.2.4
  9. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.2.5
  10. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Definition 1.2.10
  11. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Theorem 1.1.24 und Theorem 1.2.12