Kettenkomplex

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Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder R-Moduln oder – noch allgemeiner – Objekten in einer abelschen Kategorie, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kettenkomplex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

\,C_n , \,n \isin \mathbb{Z}

von R-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

d_n: C_n \rarr C_{n-1}

von R-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

\,d_n d_{n+1} = 0

für alle n gilt. Der Operator \mathrm{d}_n heißt Randoperator. Elemente von C_n heißen n-Ketten. Elemente von

Z_n(C,d):=\ker d_n\subseteq C_n bzw. B_n(C,d):=\mathop{\mathrm{im}} d_{n+1}\subseteq C_n

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung \,d_n d_{n+1}=0 ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

\,H_n(C,d) := Z_n(C,d)/B_n(C,d)

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von \,( C, d), ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Kokettenkomplex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

C^n,\, n \isin \mathbb{Z}

von R-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

\,d^n : C^n \rarr C^{n+1}

von R-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

\,d^n d^{n-1} = 0

für alle n gilt. Elemente von \,C^n heißen n-Koketten. Elemente von

\,Z^n:=\ker d^n\subseteq C^n bzw. B^n:=\operatorname{im} d^{n-1}\subseteq C^n

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung \,d^n d^{n-1} = 0 ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

\,H^n(C,d) := Z^n(C,d)/B^n(C,d)

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von \,(C, d), ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Doppelkomplex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex[1]  D_{**}  in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht  D_{**}  aus Objekten

 D_{p,q} \in \operatorname{ob} A \,, \quad p,q \in \mathbb{Z}

zusammen mit Morphismen

 D_{p,q} \xrightarrow{d} D_{p-1,q}    und    D_{p,q} \xrightarrow{d'} D_{p,q-1} \quad \forall \, p,q \in \mathbb{Z}

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

 d \circ d = 0 \quad d' \circ d' = 0 \quad d \circ d' + d' \circ d = 0 \, .

Der Totalkomplex  \operatorname{Tot}(D)_*  des Doppelkomplex  D_{**}  ist der Kettenkomplex gegeben durch

\operatorname{Tot}(D)_n = \bigoplus_{p+q=n} D_{p,q}

mit der folgenden Randabbildung: für  x \in D_{p,q}  mit  p+q=n  ist

d_n(x) = d(x) + d'(x) \in D_{p-1,q} \oplus D_{p,q-1} \subseteq \operatorname{Tot}(D)_{n-1} \, .

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von \operatorname{Tor}^R_*(M,N) nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.[2]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein Kettenkomplex (C_\bullet,d_\bullet) ist genau dann exakt an der Stelle i, wenn H_i(C_\bullet,d_\bullet)=0 ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.
  • Ein Kettenkomplex heißt azyklisch, wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

Kettenhomomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion

 f : (A_\bullet, d_{A,\bullet}) \to (B_\bullet, d_{B,\bullet})

heißt (Ko)-Kettenhomomorphismus, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen f_n : A_n \rightarrow B_n besteht, welche mit dem Randoperator d vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

d_{B,n} \circ f_n = f_{n-1} \circ d_{A,n}.

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

d_B^n\circ f_{n} = f_{n+1} \circ d_A^n.

Diese Bedingung stellt sicher, dass f Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

Euler-Charakteristik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei (C,d) ein Kokettenkomplex aus R-Moduln über einem Ring R. Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

\chi(C,d)=\sum_i(-1)^i\dim_K\mathrm H^i(C,d).

Sind auch die einzelnen Komponenten C^i endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

\chi(C,d)=\sum_i(-1)^i\dim_K C^i.

Im Spezialfall eines Komplexes C^0\to C^1 mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(C,d)=(\ldots\to0\to0\to A\to B\to0\to0\to\ldots).
Legt man die Indizes so fest, dass sich A in Grad 0 und B in Grad 1 befindet, so ist
H^0(C,d)=\ker f und H^1(C,d)=\mathrm{coker}\,f.
Die Euler-Charakteristik
\dim\ker f-\dim\mathrm{coker}\,f
von (C,d) wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von f genannt. Dabei bezeichnet \mathrm{coker}\,f den Kokern von f.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Peter John Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra (Graduate Texts in Mathematics 4). Springer, New York, NY u. a. 1971, ISBN 0-387-90033-0.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. S. 7–8 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.
  2. Abschnitt 2.7 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.