Kettenkomplex

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Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder -Moduln oder – noch allgemeiner – Objekten in einer abelschen Kategorie, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kettenkomplex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

von -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

von -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

für alle n gilt. Der Operator heißt Randoperator. Elemente von heißen n-Ketten. Elemente von

bzw.

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von , ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Kokettenkomplex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

von -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

von -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

für alle n gilt. Elemente von heißen n-Koketten. Elemente von

bzw.

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von , ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Doppelkomplex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex[1]    in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht    aus Objekten

zusammen mit Morphismen

   und   

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

Der Totalkomplex    des Doppelkomplex    ist der Kettenkomplex gegeben durch

mit der folgenden Randabbildung: für    mit    ist

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von  nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.[2]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein Kettenkomplex ist genau dann exakt an der Stelle , wenn ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.
  • Ein Kettenkomplex heißt azyklisch, wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

Kettenhomomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion

heißt (Ko)-Kettenhomomorphismus, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen besteht, welche mit dem Randoperator vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

.

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

.

Diese Bedingung stellt sicher, dass Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

Euler-Charakteristik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Kokettenkomplex aus -Moduln über einem Ring . Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

Sind auch die einzelnen Komponenten endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

Im Spezialfall eines Komplexes mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Legt man die Indizes so fest, dass sich in Grad 0 und in Grad 1 befindet, so ist
und
Die Euler-Charakteristik
von wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von genannt. Dabei bezeichnet den Kokern von .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Peter John Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra (Graduate Texts in Mathematics 4). Springer, New York, NY u. a. 1971, ISBN 0-387-90033-0.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. S. 7–8 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.
  2. Abschnitt 2.7 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.