Hopf-Algebra

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Hopfalgebra

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

Eine Hopf-Algebra – benannt nach dem Mathematiker Heinz Hopf über einem Körper ist eine Bialgebra mit einer -linearen Abbildung, der sog. „Antipode“, , so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Diagramm definierende Eigenschaft der Antipode

Formal in der Sweedler-Notation – benannt nach Moss Sweedler – geschrieben heißt das:

Faltung und Antipode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Algebra und eine Koalgebra. Die -linearen Abbildungen von nach bilden eine Algebra mit Produkt , genannt Faltung, definiert durch

.

Das neutrale Element in dieser Algebra ist , denn

und entsprechend auch

.

Für eine Bialgebra bilden die -linearen Abbildungen von nach auf diese Weise eine Algebra. Die Antipode ist das zur identischen Abbildung inverse Element in dieser Algebra. Das heißt

.

Es lässt sich zeigen, dass die Antipode einer Hopfalgebra stets eindeutig ist, und gleichzeitig ein Antialgebrahomomorphismus und ein Anticoalgebrahomomorphismus ist. Mithilfe dieser Tatsache lässt sich der Wert der Antipode auf jedem Element der Hopfalgebra ausrechnen, wenn die Werte der Antipode auf einem Algebraerzeugendensystem bekannt sind.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gruppenalgebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein einfaches Beispiel für eine Hopf-Algebra ist die Gruppenalgebra . Sie wird durch

für

und

für

zu einer Bialgebra, die Antipode

für

macht sie zu einer Hopf-Algebra.

Universelle einhüllende Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die universelle einhüllende Algebra einer Lie-Algebra ist auf natürliche Weise eine Hopfalgebra. Für ein Element ist das Koprodukt durch

und die Koeins durch

definiert.

definiert die Antipode.

Gruppenartige und primitive Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Element einer Hopfalgebra heißt „gruppenartig“, wenn und . Für die Antipode gilt dann .

Ein Element heißt „primitiv“, wenn . Daraus folgt, dass und .

Ein Element heißt „schiefprimitiv“, wenn mit gruppenähnlichen Elementen und . Daraus folgt, dass und .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]