Hypergeometrische Differentialgleichung

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Im Jahr 1801 wurde von Leonhard Euler die Lösung der Hypergeometrischen Differentialgleichung angegeben.[1] Sie steht in engem Zusammenhang mit der Gaußschen Hypergeometrischen Funktion, die zuerst von Carl Friedrich Gauß systematisch untersucht wurde.

Hypergeometrische Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hypergeometrische Funktion , wobei die Gammafunktion bezeichnet, genügt der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung:

.

Singularitäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Differentialgleichung 2. Ordnung besitzt drei hebbare Singularitäten, deren Werte im Folgenden bestimmt werden.

Ausgehend von der Hypergeometrischen Differentialgleichung in der Darstellung

mit

und

erhält man die beiden hebbaren Singularitäten bei und .

Die dritte hebbare Singularität wird durch die Substitution erhalten. Zunächst werden dazu die Ableitungen der hypergeometrische Funktion wie folgt substituiert:

und

Somit nimmt die hypergeometrische Differentialgleichung, nach Division durch , folgende Gestalt an:

mit

und

Demnach besitzt die hypergeometrische Differentialgleichung zudem bei eine hebbare Singularität.

Lösung der Hypergeometrischen Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit dem Potenzreihenansatz mit komplexen Koeffizienten lautet die Hypergeometrische Differentialgleichung:

.

Nach Ausführung der Ableitungen ergibt sich die Darstellung

.

Zusammenfassen der Potenzen von führt zu

.

Mittels Indexverschiebung ergibt sich

.

Diese Gleichung ist offensichtlich dann erfüllt, wenn:

.

Somit ist für den Koeffizienten folgende Rekursion gefunden:

Hierbei bezeichnet das Pochhammer-Symbol.

Wird als Anfangswert gesetzt, so lautet die Lösung der Hypergeometrischen Differentialgleichung :

.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Leonhard Euler: Transformationis Singularis, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, Band 12, 1801, Seite 58 - 70, online bei books.google.de