Hypergeometrische Differentialgleichung

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Die hypergeometrische Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form

Ist , so erhält man mit einem Potenzreihenansatz die Rekursionsformel für die Lösung:

Setzt man beispielsweise , so erhält man als Lösung die hypergeometrische Funktion

Diese Potenzreihe besitzt den Konvergenzradius .

Mit der hypergeometrischen Funktion können viele andere Funktionen dargestellt werden:

              
(*)
(**)

(*)Es muss der Grenzwert gebildet werden.

(**)Das -te Legendre-Polynom, .

Die hypergeometrische Differentialgleichung kann noch verallgemeinert werden zur heunschen Differentialgleichung.

Konfluente hypergeometrische Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Differentialgleichung besitzt die Form

Für wird die Differentialgleichung durch die kummersche Funktion, benannt nach Ernst Eduard Kummer,

gelöst.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ludwig Bieberbach: Theorie der Differentialgleichungen Springer, Berlin, 1930, Zweiter Abschnitt, IV. Kapitel, § 7, (Online)