Pochhammer-Symbol

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Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion, die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.[1]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Pochhammer-Symbol wird über die Gammafunktion definiert:

Aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion folgt dann

.

Man hat also eine Identität

mit der steigenden Faktoriellen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der ersten vier Pochhammersymbole
  • Das Pochhammer-Symbol ist eine meromorphe Funktion
  • Ist , so kann als Polynom in dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei .
  • Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen
  • Divisionsregel
  • spezielle Werte

q-Pochhammer-Symbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das q-Pochhammer-Symbol ist das q-Analog des Pochhammer Symbols[2] und spielt eine Rolle in der Kombinatorik bei q-Analoga klassischer Formeln, wobei angeregt durch den Grenzübergang das q-Analogon natürlicher Zahlen über definiert wird. Das q-Pochhammer-Symbol wird über die formale Potenzreihe in der Variablen q definiert:

mit

.

Sie werden auch q-Reihen genannt und als abgekürzt (z.B. ).

Es lässt sich auch zu einem unendlichen Produkt erweitern:

Der Spezialfall

ist das Eulersche Produkt[3], das eine Rolle in der Theorie der Partitionsfunktion spielt.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, S.76–159, 1888; insbesondere S.80–81. Pochhammer benutzt die Bezeichnung für den Binomialkoeffizienten, für die fallende Faktorielle und für die steigende Faktorielle.
  2. Eric Weisstein, q-Pochhammer Symbol, Wolfram Mathworld
  3. Eulersches Partitionsprodukt. Im Englischen auch Euler function, doch ist das mehrdeutig.