Inkompressible Fläche

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In der Mathematik sind inkompressible Flächen ein wichtiges Hilfsmittel der 3-dimensionalen Topologie. Durch Aufschneiden entlang inkompressibler Flächen können 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten in einfachere Stücke zerlegt werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit (evtl. leerem) Rand und eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit, d.h. eine eigentlich eingebettete Fläche.

Inkompressible Fläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Kompressionsscheibe für ist eine eingebettete Kreisscheibe

,

so dass in nicht homotop zu einer konstanten Abbildung ist.

Die Fläche heißt inkompressibel wenn

  • und es keine Kompressionsscheibe für gibt, oder
  • und ist in nicht homotop zu einer konstanten Abbildung.

Rand-inkompressible Fläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Rand-Kompressionsscheibe für ist ein eingebettetes Tripel mit , so dass nicht (rel. ) isotop zu einer Einbettung mit Bild in ist, deren Bild und jeweils in Kreisscheiben schneidet.

Die Fläche heißt -inkompressibel wenn es keine Rand-Kompressionsscheibe für gibt.

Bei Mannigfaltigkeiten mit nichtleerem Rand wird häufig auch von inkompressiblen Flächen gesprochen, wenn Flächen gemeint sind, die im Sinne obiger Definitionen inkompressibel und rand-inkompressibel sind.

Fundamentalgruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn eine inkompressible Fläche in ist, dann ist der von der Inklusion induzierte Homomorphismus der Fundamentalgruppen

injektiv. Für zweiseitige Flächen gilt auch die Umkehrung: eine zusammenhängende zweiseitige Fläche ist inkompressibel genau dann, wenn sie -injektiv ist.

Existenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn eine kompakte irreduzible 3-Mannigfaltigkeit ist, dann gibt es zu jeder Homologieklasse

eine (orientierbare, evtl. unzusammenhängende) inkompressible und -inkompressible Fläche , so dass

.

Hierbei bezeichnet die Inklusion und die Fundamentalklasse von .

Satz von Haken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Haken besagt, dass Aufschneiden einer 3-Mannigfaltigkeit entlang einer inkompressiblen, rand-inkompressiblen Fläche die Haken-Komplexität der 3-Mannigfaltigkeit verringert. Dies wird in der 3-dimensionalen Topologie häufig benutzt, um Beweise mittels Induktion nach der Haken-Komplexität zu führen.

Minimalflächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach einem Satz von Freedman, Hass und Scott ist jede inkompressible Fläche (in einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit) isotop zu einer Minimalfläche vom Index 0.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • William Jaco: Lectures on three-manifold topology. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 43. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1980. ISBN 0-8218-1693-4