Homomorphismus

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Als Homomorphismus (zusammengesetzt aus altgriech. ὁμός (homós) ‚gleich‘ oder ‚ähnlich‘, und μορφή (morphé) ‚Form‘; nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus) werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, die eine (oft algebraische) mathematische Struktur erhalten bzw. damit verträglich sind. Ein Homomorphismus bildet die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge ab, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsmenge verhalten.

Homomorphismen algebraischer Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und zwei algebraische Strukturen vom gleichen Typ sodass für jedes die Stelligkeit der fundamentalen Operationen und bezeichnet.[1] Eine Abbildung ist genau dann ein Homomorphismus von in wenn für jedes und für alle gilt:[2]

.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Klassisches Beispiel von Homomorphismen sind Homomorphismen zwischen Gruppen. Gegeben seien zwei Gruppen und Eine Funktion

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente gilt:

Aus dieser Bedingung folgt unmittelbar, dass

für die neutralen Elemente und dann

für alle gelten muss sowie, mittels vollständiger Induktion, dass

für eine beliebige endliche Anzahl von Faktoren gilt.

An diesem Beispiel orientieren sich die Definitionen der Homomorphismen verschiedener algebraischer Strukturen:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir formulieren im Folgenden einige grundlegende Eigenschaften von Homomorphismen von Gruppen, die analog auch für die Homomorphismen der anderen algebraischen Strukturen gelten.

Komposition von Homomorphismen: Wenn und Homomorphismen sind, dann ist auch die durch

für alle

definierte Abbildung ein Homomorphismus.

Untergruppen, Bild, Urbild, Kern: Wenn ein Homomorphismus ist, dann ist für jede Untergruppe auch

genannt das Bild von unter , eine Untergruppe von . Speziell wird die Untergruppe

als Bild von bezeichnet. Weiterhin ist für jede Untergruppe auch

genannt das Urbild von unter , eine Untergruppe von . Das Urbild der trivialen Gruppe, d. i. die Untergruppe

wird als Kern von bezeichnet. Sie ist sogar ein Normalteiler.

Isomorphismen: Falls ein bijektiver Homomorphismus ist, dann ist auch ein Homomorphismus. Man sagt in diesem Fall, dass und Isomorphismen sind.[3]

Homomorphiesatz: Wenn ein Homomorphismus ist, dann induziert einen Isomorphismus

der Quotientengruppe auf .

Homomorphismen relationaler Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch außerhalb der Algebra werden strukturerhaltende Abbildungen oft als Homomorphismen bezeichnet. Die meisten dieser Verwendungen des Begriffs Homomorphismus, einschließlich der oben aufgeführten algebraischen Strukturen, lassen sich unter der folgenden Definition subsumieren.[4]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und zwei relationale Strukturen vom gleichen Typ sodass für jedes die Stelligkeit der Relationen und bezeichnet. Eine Abbildung heißt dann eine homomorphe Abbildung, eine Homomorphie oder ein Homomorphismus von in wenn sie für jedes und für alle die folgende Verträglichkeitseigenschaft besitzt[5]:

Schreibweise:

Da jede Funktion als Relation beschrieben werden kann, lässt sich jede algebraische Struktur als relationale Struktur auffassen und die spezielle algebraische Definition ist somit in dieser Definition enthalten.

Hat man in obiger Definition bei einem injektiven Homomorphismus sogar die Äquivalenz

,

so spricht man von einem starken Homomorphismus.[6]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch Abbildungen, die verträglich sind mit Strukturen, die unendlichstellige Operationen besitzen, werden Homomorphismus genannt:

In einigen Teilgebieten der Mathematik beinhaltet der Begriff des Homomorphismus, dass die Verträglichkeit noch weitere Zusatzstrukturen umfasst:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Lang, Serge: Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002. ISBN 0-387-95385-X.
  • Jacobson, Nathan: Basic algebra. I. Second edition. W. H. Freeman and Company, New York, 1985. ISBN 0-7167-1480-9.
  • Hungerford, Thomas W.: Algebra. Reprint of the 1974 original. Graduate Texts in Mathematics, 73. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980. ISBN 0-387-90518-9.
  • Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. AMS, Providence (RI) 1973, ISBN 0-8218-1025-1, S. 134–136.
  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01638-8, S. 112–113.
  • Helmuth Gericke: Theorie der Verbände. Bibliographisches Institut, Mannheim 1963, S. 55–62, 147.
  • George Grätzer: Universal Algebra. 2. Auflage. Springer, New York 1979/2008 (with updates), ISBN 978-0-387-77486-2, S. 223–224, doi:10.1007/978-0-387-77487-9.
  • Gunther Schmidt, Thomas Ströhlein: Relationen und Graphen. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1989, ISBN 3-540-50304-8, S. 144–153.
  • Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. 8. Auflage der Modernen Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1971, ISBN 3-540-03561-3, S. 27–30.
  • Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8, S. 48, 19.

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Jede -stellige Operation ist eine spezielle -stellige homogene Relation (Funktion).
  2. Diese Definition ist mit der unten gegebenen verträglich, wenn man von einer Funktion zur Relation , die durch den Funktionsgraph gegeben ist, übergeht, denn dann gilt
    ,
    und genauso für .
  3. Die Urbildfunktion , die auf Mengen operiert, und die inverse Abbildung , die auf Elementen operiert, sind streng genommen 2 verschiedene Funktionen. Sind Missverständnisse zu befürchten, dann setzt man im ersteren Fall die Mengen in eckige Klammern .
  4. Eine allgemeine Definition wurde im klassischen Lehrbuch Moderne Algebra angegeben: „Wenn in zwei Mengen und gewisse Relationen (wie oder ) definiert sind und wenn jedem Element von ein Bildelement so zugeordnet ist, daß alle Relationen zwischen Elementen von auch für die Bildelemente gelten (so daß z. B. aus folgt wenn es sich um die Relation handelt), so heißt eine homomorphe Abbildung oder ein Homomorphismus von in “ (van der Waerden, B. L.: Algebra. Teil I. Siebte Auflage. Heidelberger Taschenbücher, Band 12 Springer-Verlag, Berlin-New York 1966 (Einleitung zu Paragraph 10))
  5. Manche Autoren (Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, Berlin/ Heidelberg 1984, ISBN 3-540-13427-1, S. 7.; Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 1973, S. 134.) nennen einen Homomorphismus auch nur kurz Morphismus, während andere (Fritz Reinhardt, Heinrich Sonder: dtv-Atlas Mathematik. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. 9. Auflage. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1991, ISBN 3-423-03007-0, S. 36–37.) jede strukturverträgliche Abbildung „Morphismus“ nennen und nur einen Homomorphismus von algebraischen Strukturen als „Homomorphismus“ bezeichnen.
  6. Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Abschnitt 1.3 Homomorphismen, Seite 20
  7. Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik. 3., vollst. überarb. u. erw. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 1992, ISBN 3-411-15603-1, S. 225.
  8. Jeder stetige Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen ist glatt.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Homomorphismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen