Intransitive Würfel

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Intransitive Würfel (die einander gegenüberliegenden Seiten jedes Würfels sind mit der gleichen Zahl beschriftet)

Intransitive Würfel nennt man einen Satz spezieller Spielwürfel, in dem es zu jedem der Würfel einen anderen Würfel gibt, gegen den er auf Dauer verliert, das heißt, verglichen mit dem er häufiger eine kleinere als eine größere Zahl zeigt. Ein Beispiel sind die rechts abgebildeten drei intransitiven Würfel A, B und C: Jeweils mit Wahrscheinlichkeit 5/9 gewinnt A gegen B, B gegen C und C gegen A. Das Beispiel der intransitiven Würfel zeigt, dass die Relation „ist mit größerer Wahrscheinlichkeit größer“ für Zufallsvariablen nicht transitiv sein muss. Ein ähnliches Beispiel für eine intransitive Relation ist das Spiel Schere, Stein, Papier, in dem jedes Symbol gegen eines gewinnt und gegen ein anderes verliert.

Das Ergebnis des Spiels widerspricht der Intuition, dass ein Vorteil transitiv sein müsse. Diese Vorstellung wäre zutreffend, wenn das Ergebnis die Summe der in einer großen Zahl von Spielrunden gewürfelten Zahlen und nicht die Anzahl der gewonnenen Runden wäre. Einen ähnlichen Irrtum zeigt das Condorcet-Paradoxon.

Efrons Würfel[Bearbeiten]

Efrons Würfel sind vier intransitive Würfel, die von dem amerikanischen Statistiker Bradley Efron erfunden wurden.

Efron dice 2.svg

Die vier Würfel A, B, C und D haben folgende Augenzahlen auf ihren jeweils sechs Seiten:[1]

  • A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
  • B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
  • C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
  • D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

Für jeden der Würfel gibt es einen anderen, der ihn mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 besiegt:

  • P(A>B) = P(B>C) = P(C>D) = P(D>A) = 2/3.

Die Wahrscheinlichkeiten für den Vergleich von A mit C und B mit D sind

  • P(A>C) = 4/9 und P(B>D) = 1/2.

Miwin’sche Würfel[Bearbeiten]

Miwin'sche Würfel

Die Miwin’schen Würfel wurden 1975 von dem österreichischen Physiker Michael Winkelmann erfunden. Sie sind wie folgt beschriftet:

Satz 1

  • III: 1, 2, 5, 6, 7, 9
  • IV: 1, 3, 4, 5, 8, 9
  • V: 2, 3, 4, 6, 7, 8

Satz 2

  • IX: 1, 3, 5, 6, 7, 8
  • X: 1, 2, 4, 6, 8, 9
  • XI: 2, 3, 4, 5, 7, 9

Gegen jeden der Würfel hat einer der beiden anderen folgende Chancen: Gewinn 17/36, Verlust 16/36 und Unentschieden 3/36. Winkelmann hat ebenfalls intransitive Würfel in Dodekaeder-Form konstruiert.[2]

Literatur[Bearbeiten]

  • Hugo Steinhaus, Stanisław Trybuła : On a paradox in applied probabilities, Bulletin de l’Académie Polonaise des Sciences. Série des sciences mathématiques, astronomiques et physiques 7, 1959, S. 67–69 (englisch mit russischer Zusammenfassung; Zentralblatt-Rezension)
  • Stanisław Trybuła : On the paradox of three random variables, Zastosowania Matematyki 5, 1961, S. 321–332 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
  • Li-chien Chang: On the maximin probability of cyclic random inequalities, Scientia Sinica 10, 1961, S. 499–504 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
  • Zalman Usiskin: Max–min probabilities in the voting paradox, The Annals of Mathematical Statistics 35, Juni 1964, S. 857–862 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
  • Stanisław Trybuła : On the paradox of n random variables, Zastosowania Matematyki 8, 1965, S. 143–156 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
  • Martin Gardner: Nontransitive dice and other probability paradoxes, Scientific American 223, Dezember 1970, S. 110–114 (englisch)
  • Richard P. Savage: The paradox of nontransitive dice, American Mathematical Monthly 101, No. 5, 1994, S. 429–436 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
  • Noga Alon, Graham Brightwell, H. A. Kierstead, A. V. Kostochka, Peter Winkler: Dominating sets in k-majority tournaments, Journal of Combinatorial Theory Series B 96, No 3, Mai 2006, S. 374–387 (englisch)

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Diese und weitere Möglichkeiten siehe Eric W. Weisstein: Efron’s Dice. In: MathWorld (englisch).
  2.  Michael Winkelmann: Genial! Mathematik. Spielerische Mathematik mit Miwin'schen Würfeln. Bildungsverlag Lemberger, 2012, ISBN 978-3-85221-531-0., siehe auch hier.