Intransitive Würfel

Intransitive Würfel nennt man einen Satz spezieller Spielwürfel, in dem es zu jedem der Würfel einen anderen Würfel gibt, gegen den er auf Dauer verliert, das heißt, verglichen mit dem er mit größerer Wahrscheinlichkeit eine kleinere als eine größere Zahl zeigt.

Beispiel

Intransitive Würfel (die einander gegenüberliegenden Seiten jedes Würfels sind mit der gleichen Zahl beschriftet)

Ein Beispiel sind die rechts abgebildeten drei intransitiven Würfel A, B und C. Die drei Würfel A, B und C haben folgende Augenzahlen auf ihren jeweils sechs Seiten:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7

Jeweils mit Wahrscheinlichkeit ${\tfrac {5}{9}}$ gewinnt A gegen B, B gegen C und C gegen A, wie folgende Tabellen zeigen:

		B						C						A
		1	6	8				3	5	7				2	4	9
A	2	A	B	B		B	1	C	C	C		C	3	C	A	A
	4	A	B	B			6	B	B	C			5	C	C	A
	9	A	A	A			8	B	B	B			7	C	C	A

Für das Ergebnis in jeder Zeile und jeder Spalte beträgt die Wahrscheinlichkeit ${\tfrac {2}{6}}={\tfrac {1}{3}}$. Weil die Ergebnisse der Würfel stochastisch unabhängig sind, tritt der Spielausgang in jedem farblich markierten Feld (A gewinnt, B gewinnt oder C gewinnt) mit Wahrscheinlichkeit ${\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}={\tfrac {1}{9}}$ auf.

Das Beispiel der intransitiven Würfel zeigt, dass die Relation „ist mit größerer Wahrscheinlichkeit größer“ für Zufallsvariablen nicht transitiv sein muss. Ein ähnliches Beispiel für eine intransitive Relation ist das Spiel Schere, Stein, Papier, in dem jedes Symbol gegen eines gewinnt und gegen ein anderes verliert.

Das Ergebnis des Spiels widerspricht der Intuition, dass ein Vorteil transitiv sein müsse. Diese Vorstellung wäre zutreffend, wenn das Ergebnis die Summe der in einer großen Zahl von Spielrunden gewürfelten Zahlen und nicht die Anzahl der gewonnenen Runden wäre. Einen ähnlichen Irrtum zeigt das Condorcet-Paradoxon.

Efrons Würfel

Efrons Würfel sind vier intransitive Würfel, die von dem amerikanischen Statistiker Bradley Efron erfunden wurden.

Die vier Würfel A, B, C und D haben folgende Augenzahlen auf ihren jeweils sechs Seiten:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

Für jeden der Würfel gibt es einen anderen, der ihn mit der Wahrscheinlichkeit ${\tfrac {2}{3}}$ besiegt:

		B									C									D									A
		3	3	3	3	3	3				6	6	2	2	2	2				5	5	5	1	1	1				4	4	4	4	0	0
A	4	A	A	A	A	A	A		B	3	C	C	B	B	B	B		C	6	C	C	C	C	C	C		D	5	D	D	D	D	D	D
	4	A	A	A	A	A	A			3	C	C	B	B	B	B			6	C	C	C	C	C	C			5	D	D	D	D	D	D
	4	A	A	A	A	A	A			3	C	C	B	B	B	B			2	D	D	D	C	C	C			5	D	D	D	D	D	D
	4	A	A	A	A	A	A			3	C	C	B	B	B	B			2	D	D	D	C	C	C			1	A	A	A	A	D	D
	0	B	B	B	B	B	B			3	C	C	B	B	B	B			2	D	D	D	C	C	C			1	A	A	A	A	D	D
	0	B	B	B	B	B	B			3	C	C	B	B	B	B			2	D	D	D	C	C	C			1	A	A	A	A	D	D

Die Wahrscheinlichkeit, dass Würfel A eine größere Zahl zeigt als Würfel B, wird mit $P(A>B)$ bezeichnet. Dann gilt

$P(A>B)=P(B>C)=P(C>D)=P(D>A)={\tfrac {2}{3}}$

Weil die Ergebnisse der Würfel stochastisch unabhängig sind, können diese Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet werden:

$P(A>B)=P(A=4,B=3)=P(A=4)\cdot P(B=3)={\tfrac {4}{6}}\cdot {\tfrac {6}{6}}={\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {1}{1}}={\tfrac {2}{3}}$

$P(B>C)=P(B=3,C=2)=P(B=3)\cdot P(C=2)={\tfrac {6}{6}}\cdot {\tfrac {4}{6}}={\tfrac {1}{1}}\cdot {\tfrac {2}{3}}={\tfrac {2}{3}}$

$P(C>D)=P(C=6)+P(C=2,D=1)=P(C=6)+P(C=2)\cdot P(D=1)={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {4}{6}}\cdot {\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {2}{3}}$

$P(D>A)=P(D=5)+P(D=1,A=0)=P(D=5)+P(D=1)\cdot P(A=0)={\tfrac {3}{6}}+{\tfrac {3}{6}}\cdot {\tfrac {2}{6}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}={\tfrac {2}{3}}$

Die Wahrscheinlichkeiten für den Vergleich von A mit C und B mit D sind $P(A>C)={\tfrac {4}{9}}$ und $P(B>D)={\tfrac {1}{2}}$.

Die Erwartungswerte für die gewürfelten Zahlen sind für die Würfel A, B, C und D unterschiedlich. Es gilt

$\operatorname {E} (A)=4\cdot {\tfrac {4}{6}}+0\cdot {\tfrac {2}{6}}={\tfrac {8}{3}}$

$\operatorname {E} (B)=3\cdot {\tfrac {6}{6}}=3$

$\operatorname {E} (C)=6\cdot {\tfrac {2}{6}}+2\cdot {\tfrac {4}{6}}={\tfrac {10}{3}}$

$\operatorname {E} (D)=5\cdot {\tfrac {3}{6}}+1\cdot {\tfrac {3}{6}}=3$

Es gibt auch Varianten von Efrons Würfeln, wo die Erwartungswerte für die gewürfelten Zahlen gleich sind, zum Beispiel

• A: 7, 7, 7, 7, 1, 1
• B: 5, 5, 5, 5, 5, 5
• C: 9, 9, 3, 3, 3, 3
• D: 8, 8, 8, 2, 2, 2

Für diese Würfel gilt $P(A>B)=P(B>C)=P(C>D)=P(D>A)={\tfrac {2}{3}}$ und $\operatorname {E} (A)=\operatorname {E} (B)=\operatorname {E} (C)=\operatorname {E} (D)=5$.

Miwin’sche Würfel

Miwin'sche Würfel

Die Miwin’schen Würfel wurden 1975 von dem österreichischen Physiker Michael Winkelmann erfunden. Sie sind wie folgt beschriftet:

Satz 1

• III: 1, 2, 5, 6, 7, 9
• IV: 1, 3, 4, 5, 8, 9
• V: 2, 3, 4, 6, 7, 8

Satz 2

• IX: 1, 3, 5, 6, 7, 8
• X: 1, 2, 4, 6, 8, 9
• XI: 2, 3, 4, 5, 7, 9

Gegen jeden der Würfel hat einer der beiden anderen folgende Chancen: Gewinn 17/36, Verlust 16/36 und Unentschieden 3/36. Winkelmann hat ebenfalls intransitive Würfel in Dodekaeder-Form konstruiert.

Literatur

• Hugo Steinhaus, Stanisław Trybuła: On a paradox in applied probabilities, Bulletin de l’Académie Polonaise des Sciences. Série des sciences mathématiques, astronomiques et physiques 7, 1959, S. 67–69 (englisch mit russischer Zusammenfassung; Zentralblatt-Rezension)
• Stanisław Trybuła: On the paradox of three random variables, Zastosowania Matematyki 5, 1961, S. 321–332 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
• Li-chien Chang: On the maximin probability of cyclic random inequalities, Scientia Sinica 10, 1961, S. 499–504 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
• Zalman Usiskin: Max–min probabilities in the voting paradox, The Annals of Mathematical Statistics 35, Juni 1964, S. 857–862 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
• Stanisław Trybuła: On the paradox of n random variables, Zastosowania Matematyki 8, 1965, S. 143–156 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
• Martin Gardner: Nontransitive dice and other probability paradoxes, Scientific American 223, Dezember 1970, S. 110–114 (englisch)
• Richard P. Savage: The paradox of nontransitive dice, American Mathematical Monthly 101, No. 5, 1994, S. 429–436 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
• Noga Alon, Graham Brightwell, H. A. Kierstead, A. V. Kostochka, Peter Winkler: Dominating sets in k-majority tournaments, Journal of Combinatorial Theory Series B 96, No 3, Mai 2006, S. 374–387 (englisch)

Weblinks

• Ivars Peterson: Tricky Dice Revisited, Science News 161 No. 15, 13. April 2002 (englisch)
• Wolfgang Urban: Nicht-Transitive Würfel. (PDF; 129 kB) www.hib-wien.at, September 2009, archiviert vom Original am 31. Januar 2012; abgerufen am 2. Mai 2019. 
• Michael Winkelmann: Miwin'sche Würfel, unknowns.de, 15. Juli 2009
• Brian Conrey, James Gabbard, Katie Grant, Andrew Liu, Kent E. Morrison: Intransitive Dice
• Elisabetta Cornacchia, Jan Hązła: Intransitive dice tournament is not quasirandom
• Levi Angel, Matt Davis, Muskingum University: A Direct Construction of Non-Transitive Dice Sets
• Mark Finkelstein, Edward O. Thorp: Nontransitive Dice With Equal Means
• Rosetta Code: Non-transitive dice