Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation
![{\displaystyle (q,p)\rightarrow (q',p')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863ea2c3d117c0691299f6a70a679bb0e2b57234)
zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:
![{\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277de5e3a3b6d8b8f64bd7ba18658f8414625e9)
Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten
, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten
Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial p'_{k}}}&={\dot {q}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad q'_{k}=\mathrm {const} \\-{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial q'_{k}}}&={\dot {p}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad p'_{k}=\mathrm {const} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f07e5c4ffe1151a5880aa22c7f8d0bcbb64047)
Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden
. Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:
![{\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17dc1fd36f60c0e1fd87d2ab3594881c89efdc30)
Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion
gewählt, die von den alten Ortskoordinaten
und den neuen (konstanten) Impulsen
abhängt, so dass
![{\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}}\ ,\quad q'_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6945be9ee9ef1396e96e3f3a334fdfbe56c33ec7)
Eingesetzt in
ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für
:
![{\displaystyle H\!\left(q_{k},{\frac {\partial {S}}{\partial q_{k}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53dc1c147dda2a006e8d3375761645aac0de410)
Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen
und
für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion
(die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).
Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional
![{\displaystyle S[q](t)=\int _{0}^{t}L(s,q(s),{\dot {q}}(s))ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffc6da360bf4e77746cd4e501e87d6a7b3419ce)
mit der Lagrange-Funktion
. Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.
.
Sieht man
jedoch als Funktion der Koordinaten
und
an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential
.
Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen
![{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}=\int _{0}^{t}{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}ds=\int _{0}^{t}{\frac {d}{ds}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}ds={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}=p_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4931a53770a7fcf70d30c7e51cbbfcd2f52fcb03)
mit den kanonischen Impulsen
. Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von
erhält man somit
,
woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.
Für konservative Systeme (d. h.
nicht explizit zeitabhängig:
) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion
konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt
![{\displaystyle H(q,p)\Rightarrow {\tilde {H}}(p')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09a560fd22bfe94ab48209a3ea8cf36c3305622)
Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:
![{\displaystyle {\dot {p}}'=-{\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial q'}}=0\Leftrightarrow p'=\mathrm {const} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c585c031cf874ebf03c9b98938b2e0fdf4460865)
die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:
mit ![{\displaystyle C,b=\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7121a0121581a4728ec487fcfb50631759c68e)
Für
muss gelten
![{\displaystyle p={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746a548526784cc8721e65d272388d4447b42226)
![{\displaystyle q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa48bde4549f4a5a0aabdb20e0dd108e111eca)
Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für
für konservative Systeme:
![{\displaystyle H(q,p)\Rightarrow H\left(q,{\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)={\tilde {H}}(p').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20f1d9af6cb7c5d92f387d74d4e80ea73c2d162)
Zur Veranschaulichung von
wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,S(q,p')&={\frac {\partial S}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial S}{\partial p'}}{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}+q'{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}\quad \quad \quad \mathrm {wegen} \;{\dot {p}}'=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5355773e2e5be73318508a0827d58b1d20703aa)
Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion
, wobei
die kinetische Energie ist,
das Potential):
.
Die zeitliche Integration liefert
![{\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}2T\ \mathrm {d} t=W,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8565838a8ada5116f7944dc2445e033f01cc92db)
also ist
mit dem Wirkungsintegral identisch.
Sei
ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet
![{\displaystyle H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+U(q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167dd65e342918f4cee30135d611c1c1030c3e3c)
die Hamilton-Jacobi-Gleichung
![{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+U(q)={\tilde {H}}=E.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52af13f5837b6b81e42c841d9b587c5f75cb1015)
Beim eindimensionalen Oszillator ist
die einzige Konstante der Bewegung. Da
ebenfalls konstant sein muss, setzt man
, was für alle konservativen Systeme möglich ist.
![{\displaystyle \left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+2mU(q)=2mp'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe38b0539ebfb33d2fbce2280242b78c76335084)
Durch Integrieren folgt
![{\displaystyle S(q,p')={\sqrt {2m}}\int _{q_{0}}^{q}{\sqrt {(p'-U({\tilde {q}}))}}\,\mathrm {d} {\tilde {q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e7b773c440dcba563c11d90e52d35685eeeaf6)
mit
![{\displaystyle q'={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {p'-U({\tilde {q}})}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571a1feaf12bcb8333b87767dae4498e448d3a37)
Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem
![{\displaystyle {\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}={\frac {\partial E}{\partial p'}}={\frac {\partial p'}{\partial p'}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bf8ca8b3e3f1461b1b3e86c3d3293dad589a9a)
![{\displaystyle \Rightarrow q'=t-{t_{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906e9c659b8a7723f4dcae44efa6e4e2470c412c)
Um die Bewegung in
und
darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden
![{\displaystyle p(t)={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}={\sqrt {2m(p'-U(q))}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b4dcbe0e9b1b11cbad662fc1a102bf6ccee945)
![{\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-U({\tilde {q}})}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08015438046cb60e6a467d0e33c784c0b1551735)
Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit
![{\displaystyle p(t)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}aq^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9758651848fb0f5b79be7336e396e643c14ce3a7)
![{\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-{\frac {1}{2}}a{\tilde {q}}^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136218a96dded5ae3b1e5a7beb9f7cc2f6d2b98e)
Somit (für den Fall
)
![{\displaystyle t-{t_{0}}={\sqrt {\frac {m}{a}}}\arcsin {\sqrt {\frac {a}{2E}}}q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbd635bdcbd91e47f5c56f6347a43f1246cc0f6)
und letztlich
![{\displaystyle q(t)={\sqrt {\frac {2E}{a}}}\sin {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b557b9b0b5d17ee3d7987f018af0d6d7e0f924)
![{\displaystyle p(t)={\sqrt {2mE}}\cos {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd2055d424328fdd52ac36916e0cc9681532a26)
- Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
- Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.