Generalisierte Koordinate

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Feder-Masse-Schwinger: x ist die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage und generalisierte Koordinate

Die generalisierten Koordinaten sind ein Begriff aus der Technischen Mechanik. Sie sind ein reduzierter Satz von unabhängigen Koordinaten zur eindeutigen Beschreibung der Lage von Punkten oder Körpern im Raum. Sie werden so gewählt, dass die mathematische Formulierung von Bewegungen, die Zwangsbedingungen unterliegen, möglichst einfach wird.[1] Beim mathematischen Pendel z. B. genügt die Angabe des Auslenkwinkels zur Beschreibung der Kreisbewegung. Die konstante Seillänge ist durch die Bindungsgleichung l =\text{const} gegeben.

Allgemein stimmt die Anzahl der Freiheitsgrade eines Systems mit der Anzahl der zur Beschreibung mindestens erforderlichen generalisierten Koordinaten überein. Die generalisierten Koordinaten beschreiben den Konfigurationsraum.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Masse des ebenen mathematischen Pendels in der x-y-Ebene kann sich bei konstanter Seillänge l (skleronom holonome Zwangsbedingung) nur auf einer Kreisbahn bewegen. Der Winkel \varphi ist der einzige Freiheitsgrad der Bewegung. Die Position der Pendelmasse lässt sich somit eindeutig durch die generalisierte Koordinate \varphi beschreiben. Fasst man das Problem als dreidimensional auf, so hat man zusätzlich die Zwangsbedingung des ebenen Pendels z=0 zu berücksichtigen:

 \vec r = l \, \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \\ 0 \end{pmatrix}

Genauso gut kann man das Problem des ebenen mathematischen Pendels als zweidimensional auffassen und die z-Koordinate weglassen:

 \vec r_\text{2D} = l \, \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix}

Alle weiteren Größen der Bewegung wie Geschwindigkeit oder Beschleunigung lassen sich ebenfalls in Abhängigkeit der verallgemeinerten Koordinate \varphi ausdrücken.

Die Bewegungsgleichungen lassen sich stets nach den zweiten Ableitungen der verallgemeinerten Koordinaten auflösen. Im Beispiel erhält man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für den Winkel \varphi.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Georg Rill: Vorlesungsskript Technische Mechanik III, März 2010, S. 2. (PDF-Datei 927 KB)