Killing-Form

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Die Killing-Form spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren. Sie ist nach Wilhelm Killing benannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Lie-Algebra über dem Körper und ihre adjungierte Darstellung.

Die Killing-Form ist die durch

für definierte symmetrische Bilinearform

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist eine symmetrische Bilinearform.
  • ist assoziativ, das heißt, es gilt für alle .
  • Für alle ist schiefsymmetrisch bzgl. , das heißt für alle gilt
.
  • Die Killing-Form ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn die Lie-Algebra halb-einfach ist.
  • Falls die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist, dann ist -invariant, d.h. für alle gilt
.
  • Falls die Lie-Algebra einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist, dann ist die Killing-Form negativ definit genau dann, wenn kompakt ist. Insbesondere definiert eine bi-invariante Riemannsche Metrik auf einer kompakten, halbeinfachen Lie-Gruppe . Allgemeiner ist auf der Lie-Algebra einer kompakten (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe die Killingform stets negativ semidefinit.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Killing-Form nilpotenter Lie-Algebren ist identisch Null.

Für viele klassische Lie-Algebren lässt sich die Killing-Form explizit angeben:

g B(X, Y)
gl(n, R) 2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
sl(n, R) 2n tr(XY)
su(n) 2n tr(XY)
so(n, R) (n−2) tr(XY)
so(n) (n−2) tr(XY)
sp(n, R) (2n+2) tr(XY)
sp(n, C) (2n+2) tr(XY)

Riemannsche Metrik auf Symmetrischen Räumen von nichtkompaktem Typ[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form

mit einer halbeinfachen Lie-Gruppe und einer maximal kompakten Untergruppe .

Zu einem symmetrischen Raum hat man eine Cartan-Zerlegung

und man kann den Tangentialraum im neutralen Element mit identifizieren.

Die Killing-Form ist negativ definit auf und positiv definit auf . Insbesondere definiert sie ein -invariantes Skalarprodukt auf und damit eine links-invariante Riemannsche Metrik auf . Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige -invariante Metrik auf .

Die Differentialgeometrie symmetrischer Räume beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Killing-Form spielt eine Schlüsselrolle in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren über Körpern der Charakteristik .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Humphreys, James E.: Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.