Symmetrischer Raum

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In der Mathematik sind symmetrische Räume eine Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit einem besonders hohen Grad an Symmetrien.

Sie sind eine wichtige Klasse von Beispielen in Geometrie und Topologie und finden Anwendung unter anderem in Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein symmetrischer Raum, wenn es zu jedem eine Spiegelung an gibt, d.h. eine Isometrie mit und .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der euklidische ist ein symmetrischer Raum, zu jedem definiert man die Spiegelung durch
.
  • Die Einheitssphäre ist ein symmetrischer Raum. Zu ist der eindeutig bestimmte Punkt auf dem Großkreis durch und , für den sowie (falls und keine antipodalen Punkte sind) gilt.

Geodätische Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Geodäte mit . Aus folgt für alle .

Umgekehrt kann man in jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit lokal (in einer hinreichend kleinen Umgebung eines Punktes ) eine geodätische Spiegelung durch definieren. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt lokal symmetrisch, wenn auf seinem Definitionsbereich eine Isometrie ist. Sie ist ein symmetrischer Raum, falls eine Isometrie ist und sich auf ganz definieren lässt.

Homogener Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder symmetrische Raum ist ein homogener Raum, d.h. von der Form für eine zusammenhängende Lie-Gruppe und eine kompakte Untergruppe , so dass die Riemannsche Metrik unter der Links-Wirkung von invariant ist. Cartan charakterisiert symmetrische Räume wie folgt: Sei eine zusammenhängende Liegruppe, eine kompakte Untergruppe und ein Liegruppenhomomorphismus mit sowie . (Hier bezeichnet die Fixpunkte von und die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements. heißt Cartan-Involution.) Dann trägt eine -invariante Riemannsche Metrik und ist ein symmetrischer Raum.

Cartan-Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein symmetrischer Raum und die Cartan-Involution. Seien die Lie-Algebren von .

Sei . Wegen sind die einzigen Eigenwerte, ist der Eigenraum zum Eigenwert . Wir bezeichnen mit den Eigenraum zum Eigenwert , er entspricht dem Tangentialraum an in . Dann ist und

, , .

Die mit Hilfe der Killing-Form definierte Form

ist positiv semidefinit.

Umgekehrt gibt es zu einer Zerlegung mit diesen Eigenschaften immer eine Involution auf , die auf und auf ist. Sei die einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit Lie-Algebra , dann gibt es zu eine Involution mit und damit einen symmetrischen Raum .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit ist eine Cartan-Zerlegung.

Typen symmetrischer Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein symmetrischer Raum ist von kompaktem Typ, wenn die Killing-Form auf negativ semidefinit ist.

Ein symmetrischer Raum ist von euklidischem Typ, wenn abelsch ist.

Ein symmetrischer Raum ist von nichtkompaktem Typ, wenn die Killing-Form auf nicht-ausgeartet, aber nicht negativ semidefinit und eine Cartan-Zerlegung ist. (In diesem Fall ist halbeinfach und eine maximal kompakte Untergruppe.)

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Sphäre ist ein symmetrischer Raum von kompaktem Typ.
  • Der euklidische Raum ist ein symmetrischer Raum von euklidischem Typ, ebenso der n-dimensionale Torus.
  • Der hyperbolische Raum ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. und sind symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ.

Produkt-Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein symmetrischer Raum heißt irreduzibel, wenn er sich nicht als Produkt zweier nichttrivialer symmetrischer Räume zerlegen lässt. Jeder symmetrische Raum lässt sich als Produkt irreduzibler symmetrischer Räume von kompaktem, euklidischem und nichtkompaktem Typ zerlegen.

Schnittkrümmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Symmetrische Räume von kompaktem Typ haben Schnittkrümmung , symmetrische Räume von euklidischem Typ haben Schnittkrümmung , symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ haben Schnittkrümmung .

Symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ sind CAT(0)-Räume und zusammenziehbar.

Dualität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der symmetrische Raum mit ist von kompaktem Typ genau dann, wenn der symmetrische Raum mit von nichtkompaktem Typ ist. Man bezeichnet diese beiden symmetrischen Räume als dual zueinander. Zu einem gegebenen symmetrischen Raum von nichtkompaktem Typ wird das kompakte Dual mit bezeichnet.

Beispiele:

  • Der hyperbolische Raum ist dual zur Sphäre.
  • ist dual zu .

Rang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Rang eines symmetrischen Raumes ist definiert als

,

d.h. die Dimension eines maximalen Unterraumes, auf dem die Schnittkrümmung verschwindet.

Beispiel: .

Symmetrische Räume vom Rang 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die einzigen nichtkompakten symmetrischen Räume mit sind

Die einzigen kompakten symmetrischen Räume vom Rang 1 sind die

Klassifikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt eine vollständige Klassifikation symmetrischer Räume. Im Fall kompakter symmetrischer Räume ergibt sich folgende Tabelle

Label G K Dimension Rang
AI n − 1
AII n − 1
AIII min(p,q)
BDI min(p,q)
DIII [n/2]
CI n
CII min(p,q)
EI 42 6
EII 40 4
EIII 32 2
EIV 26 2
EV 70 7
EVI 64 4
EVII 54 3
EVIII 128 8
EIX 112 4
FI 28 4
FII 16 1
G 8 2

Die Klassifikation symmetrischer Räume von nichtkompaktem Typ ergibt sich aus der Klassifikation kompakter symmetrischer Räume mit dem Dualitätsprinzip.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
  • Arvanitoyeorgos, Andreas: An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. Translated from the 1999 Greek original and revised by the author. Student Mathematical Library, 22. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-2778-2
  • Cheeger, Jeff; Ebin, David G.: Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4417-5
  • Helgason, Sigurdur: Geometric analysis on symmetric spaces. Second edition. Mathematical Surveys and Monographs, 39. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4530-1
  • Helgason, Sigurdur: Topics in harmonic analysis on homogeneous spaces. Progress in Mathematics, 13. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981. ISBN 3-7643-3051-1

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]