Adjungierte Darstellung

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In der Mathematik spielen die adjungierten Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren eine wichtige Rolle in Differentialgeometrie, Darstellungstheorie und Mathematischer Physik.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Lie-Gruppe

Eine Lie-Gruppe ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind.

Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie-Klammer. Die Lie-Algebra kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie-Gruppe identifiziert werden:

.

Adjungierte Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra .

Die Konjugation mit einem Element ist die durch

definierte Abbildung .

Die adjungierte Darstellung

ist der durch

für alle definierte Lie-Gruppen-Homomorphismus.

Ebenfalls als adjungierte Darstellung bezeichnet wird der induzierte Lie-Algebren-Homomorphismus

.

Weil es nach den Lie'schen Sätzen zu jeder endlich-dimensionalen reellen Lie-Algebra eine bis auf Isomorphismus eindeutige einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit gibt, lässt sich die adjungierte Darstellung für jede solche Lie-Algebra definieren.

Explizite Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die adjungierte Darstellung einer Lie-Algebra entspricht dem Anwenden der Lie-Klammer: es gilt

für alle .

Für Matrix-Gruppen, d. h. abgeschlossene Untergruppen von , lässt sich auch die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe explizit beschreiben: nach der kanonischen Identifizierung von mit einer Teilmenge von gilt

für alle .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Arvanitoyeorgos, Andreas: An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. Translated from the 1999 Greek original and revised by the author. Student Mathematical Library, 22. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-2778-2
  • Hall, Brian C.: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. Graduate Texts in Mathematics, 222. Springer-Verlag, New York, 2003. ISBN 0-387-40122-9
  • Knapp, Anthony W.: Lie groups beyond an introduction. Second edition. Progress in Mathematics, 140. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002. ISBN 0-8176-4259-5