Kompakt-Offen-Topologie

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Die Kompakt-Offene-Topologie kurz KO-Topologie[1] ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenräumen stetiger Funktionen. Sind nämlich und topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge aller stetigen Funktionen wieder mit einer Topologie auszustatten. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Die Mathematiker R. H. Fox (1945) und Richard Friederich Arens (1946) definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch.[2]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und topologische Räume. Ist kompakt und offen, so sei .

Die Kompakt-Offen-Topologie auf ist die von allen Mengen der Form , kompakt, offen, erzeugte Topologie, d.h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen .

Die Mengen , kompakt, offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit abgekürzt (engl. compact-open), bezeichnet dann den Raum , der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden seien und topologische Räume.

Trennungsaxiome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist Y T0-Raum, T1-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede nicht-leere Teilmenge hat man die Auswertungsabbildung . Ist irgendeine Topologie auf , so dass stetig ist ( trägt dabei die Produkttopologie aus und der auf gegebenen Topologie), so ist , d.h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf ist gröber als . In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung stetig, wenn man mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:

Ist lokalkompakt und ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung stetig macht.

Komposition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und lokalkompakt, sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

stetig.

Kompakte Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei lokalkompakt, uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt . Mit werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen betrachte man den Raum aller stetigen Abbildungen des Einheitsquadrates nach , die den Rand des Einheitsquadrates auf den Basispunkt abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus , die das Einheitsquadrat auf den Punkt abbildet, mit und versieht man mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von , so ist das Paar ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt.

Man definiert nun und allgemeiner rekursiv für .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4, S. 72.
  2. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 333.