Komplexes Maß

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Ein komplexes Maß ist eine Art Verallgemeinerung des Maßes aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine Funktion, die von einem Mengensystem, meist einer σ-Algebra, abbildet. Das komplexe Maß lässt jedoch als Wertebereich die komplexen Zahlen zu.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine nichtleere Menge und eine Teilmenge der Potenzmenge von mit .

Eine Mengenfunktion von in die komplexen Zahlen heißt komplexes Maß, wenn

und für jede disjunkte Familie mit und

gilt, wobei die Reihe absolut konvergieren muss, das heißt . Letztere Eigenschaft wird auch als -Additivität bezeichnet.

In den meisten Anwendungen ist das Mengensystem eine σ-Algebra, dann ist immer in enthalten.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedes endliche (Prä)Maß ist ein komplexes Maß, wenn man den reellen Bildbereich des Maßes in die komplexen Zahlen einbettet.

Für ein komplexes Maß sind offensichtlich Real- und Imaginärteil signierte Maße. Da jedes signierte Maß als Differenz zweier positiver Maße geschrieben werden kann (Hahn-Jordan-Zerlegung), kann jedes komplexe Maß als Linearkombination von vier positiven Maßen geschrieben werden.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1999, ISBN 3-486-24789-1, Kap. 6.