Henkelkörper

In der Mathematik sind Henkelkörper 3-dimensionale Gebilde, deren Ränder Flächen sind.

Definition

Eine Vollkugel mit 3 disjunkten Henkeln.

Den Henkelkörper vom Geschlecht $g$ erhält man, indem man an eine 3-dimensionale Vollkugel $g$ disjunkte Henkel ansetzt.

In Formeln: Sei $B^{3}$ eine Vollkugel, seien $f_{1},\ldots ,f_{g}:B^{2}\times \left\{0,1\right\}\rightarrow \partial B^{3}$ injektive stetige Abbildungen mit disjunkten Bildern, dann definieren wir den Henkelkörper $H_{g}$ als Quotienten von

$H_{g}:=(B^{3}\bigcup \cup _{i=1}^{g}(B^{2}\times \left[0,1\right])_{i})/\sim$

unter der Äquivalenzrelation $x\sim f_{i}(x)$ für $x\in (B^{2}\times \left\{0,1\right\})_{i},i=1,\ldots ,g$.

$H_{g}$ ist eine orientierbare 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand, ihr Rand ist eine Fläche vom Geschlecht $g$. Die Vollkugel wird als Henkelkörper vom Geschlecht $g=0$ bezeichnet.

• 
  $g=1$: Volltorus
• 
  $g=2$: Vollbrezel
• 
  $g=3$

Kompressionskörper

Ein allgemeinerer Begriff, der vor allem in der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten mit Rand Anwendung findet, ist der Begriff des Kompressionskörpers.

Ein Kompressionskörper $C$ entsteht aus einem Produkt $S\times \left[0,1\right]$, für eine geschlossene Fläche $S$, durch Ankleben von 2-Henkeln entlang $S\times \left\{1\right\}$. Man bezeichnet $\partial _{-}C:=S\times \left\{0\right\}$ und $\partial _{+}C:=\partial C\setminus \partial _{-}C$.

Henkelkörper erhält man für $S=\emptyset$, in diesem Fall ist $\partial _{-}C=\emptyset$.

Literatur

• Bonahon: Geometric structures on 3-manifolds. Handbook of geometric topology, 93–164, North-Holland, Amsterdam, 2002.
• Bonahon: Cobordism of automorphisms of surfaces. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 16 (1983), no. 2, 237–270. pdf
• Lackenby, Purcell: Geodesics and compression bodies pdf
• Oertel: Automorphisms of three-dimensional handlebodies. Topology 41 (2002), no. 2, 363–410. pdf