Kräfteparallelogramm

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Das Kräfteparallelogramm
Überspannung für eine Laterne als Anwendung des Kräfteparallelogramms

Das Kräfteparallelogramm ist ein Hilfsmittel zur geometrischen Untersuchung von Kräften. Es basiert auf einem Gesetz der Mechanik, welches besagt:[1]

Je zwei am selben Punkt angreifende Kräfte können durch eine einzige Kraft ersetzt werden. Diese resultierende Kraft (auch Gesamtkraft oder Ersatzkraft genannt) hat die gleiche Wirkung wie die beiden Ausgangskräfte zusammen.

Als geometrische Lösung zeichnet man dazu zwei Kraftvektoren mit Betrag (also bestimmter Länge) und Richtung als Pfeile auf. Im Parallelogramm, das aus diesen beiden Pfeilen gezeichnet werden kann, zeigt die Diagonale vom Ursprungspunkt aus die resultierende Kraft, die sich ergibt. Mathematisch entspricht das der Vektoraddition der beiden Kraftvektoren. Die Umkehrung dieses Prozesses ist die Kräftezerlegung, bei der ein vorgegebener Kraftvektor in zwei Kräfte aufgespaltet wird. Dabei sind prinzipiell beliebig viele Lösungen möglich. Kennt man die Wirkungsrichtung der zerlegten Komponenten, so gibt es genau eine Lösung und man kann den Betrag der beiden Kräfte bestimmen.

Das Gesetz vom Kräfteparallogramm hat axiomatischen[2] Charakter: Es kann nicht durch andere Gesetze - z. B. die newtonschen Gesetze - bewiesen werden, sondern wird als wahr angenommen, da seine Ergebnisse mit den Erfahrungen der Praxis übereinstimmen.[3] Teilweise wird es auch als viertes newtonsches Gesetz bezeichnet, da die ersten drei nicht ausreichen um alle Gesetze der Mechanik herzuleiten.

Die Erweiterung des Konzepts vom Kräfteparallelogramm auf mehr als zwei Kräfte führt zum Kräfteeck. Es können aber auch mehr als zwei Kräfte mit dem Kräfteparallelogramm zusammengefasst werden. Dazu werden zunächst zwei Kräfte zusammengefasst und deren Resultierende wird dann mit einer weiteren Kraft zu einer neuen Resultierenden zusammengefasst. Der Vorgang wird dann solange wiederholt bis nur noch eine einzige Kraft übrig bleibt.

Grafische Addition zweier Kräfte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit grafischen Mitteln lässt sich eine resultierende Kraft ermitteln, deren Wirkung auf den Körper den beiden Ausgangskräften entspricht.

  1. Maßstabsgerechtes Anzeichnen der Kräfte nach Angriffspunkt, Betrag und Richtung.
  2. Verschieben der Pfeile entlang der Wirkungslinie zum gemeinsamen Schnittpunkt. Falls die beiden Kräfte nicht denselben Angriffspunkt haben, kann das Kräfteparallelogramm im Allgemeinen nicht angewandt werden. Falls die Kräfte jedoch auf einen starren Körper wirken ändert sich ihre Wirkung nicht wenn sie entlang ihrer Wirkungslinien verschoben werden (sogenanntes Linienflüchtigkeitsgesetz). Häufig geht man unausgesprochen davon aus, dass die Kräfte auf einen starren Körper wirken.
  3. Parallelverschiebung der beiden Wirkungslinien, so dass die Linie die Spitze des anderen Kraftvektors durchläuft.
  4. Die Diagonale des so entstandenen Parallelogramms bildet die resultierende Kraft und ersetzt die beiden Ausgangskräfte. Die entstandene Kraft lässt sich für weitere Untersuchungen wiederum entlang ihrer Wirkungslinie verschieben falls sie auf einen starren Köper wirkt.

Grafische Kräftezerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Kraft wird zur besseren Untersuchbarkeit in zwei Teilkräfte aufgespaltet, die sich am selben Punkt schneiden. Dabei lässt sich mit grafischen Mitteln anhand der geforderten Wirkrichtung der Betrag der Kraftkomponenten ermitteln.[4]

  1. Maßstabsgerechtes Aufzeichnen der Ausgangskraft und der Wirkungslinien der Teilkräfte
  2. Verschiebung der Ausgangskraft entlang ihrer Wirkungslinie zum Schnittpunkt der Wirkungslinien
  3. Parallelverschiebung der Wirkungslinien der Teilkräfte, damit die Linie die Spitze der Ausgangskraft durchläuft
  4. Die am Angriffspunkt anliegenden Seitenkanten des entstandenen Parallelogramms entsprechen den Kraftvektoren der Teilkräfte.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Gesetz vom Kräfteparallelogramm wurde erstmals 1586 von Simon Stevin (1548–1620) formuliert.[5] Genau hundert Jahre später gab Isaak Newton (1643–1727) es in seinen Principia Mathematica nicht als Axiom an, sondern als Zusatz. Er ging somit von seiner Gültigkeit aus.[6]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Böge, Böge: Technische Mechanik, Springer, 31. Auflage, 2015, S. 8.
  2. Dankert, Dankert: Technische Mechanik, Springer, 7. Auflage, 2013, S. 4.
  3. Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 - Statik, Springer, 11. Auflage, 2011, S. 21f.
  4. Böge, Böge: Technische Mechanik, Springer, 31. Auflage, 2015, S. 9.
  5. Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik - Statik, Springer, 2012, S. 41.
  6. Bartelmann et al.: Theoretische Physik, Springer, 2011, S. 11.