Kreinraum

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In der Funktionalanalysis ist ein Kreinraum (nach Mark Krein) ein Hilbertraum mit einer abgeschwächten Struktur: einem i.A. indefiniten inneren Produkt anstelle des üblichen Skalarprodukts. Eine genaue Definition findet sich weiter unten. In vielen Anwendungen ist die Theorie der Kreinräume ein sehr nützliches Werkzeug, beispielsweise bei Operatormatrizen oder bei bestimmten Differentialoperatoren.

Inneres Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem indefiniten inneren Produkt . Wir definieren damit die Teilmengen

Die in diesen Mengen liegenden Vektoren heißen positiv, neutral, negativ, nichtnegativ beziehungsweise nichtpositiv. Einen Unterraum mit , , , bzw. nennt man positiv, neutral, negativ, nichtnegativ bzw. nichtpositiv. In allen diesen Fällen sagt man, sei semidefinit. Einen Unterraum, der nicht semidefinit ist, nennt man indefinit.

Definition des Kreinraumes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein komplexer Vektorraum und ein inneres Produkt auf . Dann heißt ein Kreinraum, falls eine Zerlegung

existiert, so dass und Hilberträume sind. bezeichnet hier die orthogonale direkte Summe (das heißt die Summe ist direkt, und und stehen bzgl. des inneren Produktes senkrecht aufeinander). Eine Zerlegung des Raumes der obigen Gestalt wird Fundamentalzerlegung genannt.

Fundamentalsymmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im folgenden sei ein Kreinraum. Mit Hilfe der obigen Fundamentalzerlegung lässt sich auf ein Skalarprodukt definieren

mit

Damit ist ein Hilbertraum (siehe z.B. im Buch von T.Ya. Azizov und I.S. Iokhvidov). ist die orthogonale Summe der Hilberträume und . Nun führen wir folgende Projektoren ein:

Der Operator heißt Fundamentalsymmetrie von . Nun gilt und , wobei mit der adjungierte Operator bezüglich des Hilbertraumskalarproduktes bezeichnet wird. Ferner ist

für

Das Hilbertraumskalarprodukt hängt von der gewählten Fundamentalzerlegung ab, die, mit Ausnahme des Falles, dass der ganze Raum positiv oder negativ ist, nicht eindeutig bestimmt ist. Aber es lässt sich zeigen (siehe z.B. Proposition 1.1 und 1.2 in der Arbeit von H. Langer in der unten stehenden Literaturliste), dass für zwei Fundamentalzerlegungen

und

von die Dimensionen der entsprechenden Unterräume übereinstimmen,

und die zugehörigen Hilbertraumskalarprodukte und äquivalente Normen erzeugen. Alle Begriffe in einem Kreinraum, die Bezug auf eine Topologie nehmen, wie Stetigkeit, Abgeschlossenheit, Spektrum eines Operators in usw. beziehen sich auf diese Hilbertraumtopologie.

Pontrjaginraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls ist, so wird der Kreinraum ein Pontrjaginraum oder auch -Raum genannt (benannt nach Lew Pontrjagin). In diesem Fall wird (bzw. ) die Zahl der positiven (negativen) Quadrate des inneren Produktes genannt.

Weblink[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • T. Ya. Azizov, I. S. Iokhvidov: Linear operators in spaces with an indefinite metric, John Wiley & Sons, Chichester, 1989, ISBN 0-471-92129-7.
  • J. Bognár: Indefinite inner product spaces, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1974, ISBN 3-540-06202-5.
  • H. Langer: Spectral functions of definitizable operators in Krein spaces, Functional Analysis. Proceedings of a conference held at Dubrovnik, Yugoslavia, November 2-14, 1981, Lecture Notes in Mathematics, 948, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1982, 1-46, ISSN 0075-8434.