Äquivalente Normen

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Äquivalenz der euklidischen Norm (blau) und der Maximumsnorm (rot) in zwei Dimensionen

Als äquivalente Normen bezeichnet man in der Mathematik ein Paar von abstrahierten Abstandsbegriffen, sogenannten Normen, die identische Konvergenzbegriffe erzeugen. Etwas detaillierter unterscheidet man in stärkere Normen (synonym auch feinere Normen genannt) und schwächere Normen (synonym auch gröbere Normen genannt) und nennt zwei Normen äquivalent, wenn sie sowohl stärker als auch schwächer als ihr Konterpart sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Vektorraum über (in den meisten Fällen oder ), auf dem zwei Normen und definiert sind.

Dann heißt, stärker oder feiner als , wenn eine positive Zahl existiert, sodass

ist. Entsprechend wird dann auch schwächer oder gröber als genannt.

Die Normen und heißen äquivalent, wenn es positive Zahlen gibt, sodass

gilt. Zwei Normen sind somit äquivalent, wenn stärker ist als und stärker ist als .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Endlichdimensional[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei der , versehen mit der Maximumsnorm und der Summennorm

.

Dann ist wegen auch immer

.

Somit ist

,

demnach ist die Maximumsnorm stärker als die Summennorm. Umgekehrt ist immer

,

da der betragsgrößte Eintrag eines Vektors nie größer ist als die Summe der Beträge aller Einträge des Vektors. Somit ist die Summennorm stärker als die Maximumsnorm. Insgesamt gilt dann

,

Maximumsnorm und Summennorm im sind also äquivalent. Tatsächlich lässt sich zeigen, dass auf beliebigen endlichdimensionalen Vektorräumen alle Normen äquivalent sind.

Unendlichdimensional[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man den Vektorraum der reellwertigen stetigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall von null bis eins, so lassen sich zwei Normen definieren:

  • Einerseits die Supremumsnorm , die aufgrund der Beschränktheit stetiger Funktionen auf dem kompakten Intervall wohldefiniert ist.
  • Andererseits sind stetige Funktionen in diesem Kontext immer messbar und wegen ihrer Beschränktheit im Lp-Raum enthalten. Somit lässt sich auch die L1-Norm
definieren.

Das Integral lässt sich nach oben aber immer durch den größtmöglichen Funktionswert abschätzen, es gilt hier also

und somit

.

Die Supremumsnorm ist also stärker als die L1-Norm.

Die beiden Normen sind jedoch nicht äquivalent: Beispielsweise gilt für die durch mit definierten Funktionen und . Es kann also keine Konstante mit für alle Funktionen in geben.

Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind zwei Normen und gegeben und ist stärker als , etwa , so gilt für Normkugeln die Beziehung

.

Damit ist auch geometrisch-anschaulich klar, dass eine Konvergenz bzgl. die Konvergenz bzgl. nach sich zieht, denn wenn die Differenzen in kleinen -Kugeln liegen, so liegen sie auch in (bis auf einen konstanten Faktor ) kleinen -Kugeln.

Die Äquivalenz der Normen bedeutet nun, dass sowohl stärker als ist als auch, dass stärker als ist. Nach dem obigen Argument konvergiert demnach eine Folge bezüglich genau dann, wenn sie bezüglich konvergiert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist die Norm stärker als , so gilt für die erzeugten Metriken
,
dass dann auch stärker als ist.
  • Analog gilt: Ist stärker als , so ist die von erzeugte Topologie feiner bzw. stärker als die von erzeugte Topologie.
  • In endlichdimensionalen Vektorräumen sind alle Normen äquivalent.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]