Lelong-Zahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Lelong-Zahlen sind Invarianten für komplexe Mannigfaltigkeiten sowie Verallgemeinerungen mit Singularitäten. Sie sagt etwas über die lokale Dichte in einem Punkt. Lelong-Zahlen sind das analytische Analogon zur Multiplizität der Algebra und wurden 1957 von Pierre Lelong für Ströme eingeführt.[1]

Besonders wichtig sind die Lelong-Zahlen für sogenannte plurisubharmonische Funktionen , indem man als Strom setzt, also die Krümmung der zu gehörenden singulären Metrik betrachtet.

Sei ein geschlossener, positiver Strom mit bidimension auf einer Koordinatenumgebung . Wir definieren das Funktional

wobei das Minimum bezeichnet.

Dann definiert man die Lelong-Zahl von im Punkt als den Wert

.

Mit bezeichnet man die Niveaumenge von zum Niveau .

Wichtige Sätze

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz von Lelong

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Sei ein positiver Strom. Dann ist eine nichtnegative wachsende Funktion, insbesondere existiert der Grenzwert für .
  2. Ist der zu einer plurisubharmonischen Funktion gehörende -Strom, dann ist .
  3. Ist für ein und , dann gilt

Ist eine singuläre Metrik für eine plurisubharmonische Funktion , dann schreiben wir auch . Außerdem folgt aus dem obigen Satz, dass

Sei eine analytische Untervarietät von . Dann stimmt die Lelong-Zahl des Integrationscurrent mit der Multiplizität von in überein.

Sei ein geschlossener, positiver Strom der Bidimension auf einer komplexen Mannigfaltigkeit . Dann gilt:

  1. Die Lelong-Zahl ist invariant unter holomorphem Koordinatenwechsel.
  2. Die Menge ist eine abgeschlossene analytische Teilmenge von , deren Dimension kleiner als oder gleich ist.
  • P. Lelong: Intégration sur un ensemble analytique complexe, Bull. Soc. Math France 85 (1957), 239–262.
  • P. Thie: The Lelong number of a point of a complex analytic set, Math. Ann. 172 (1967), 269–312.
  • Y.-T. Siu: Analyticity of sets associated to Lelong numbers and the extension of closed positive currents, Invent. Math. 27 (1974), 53–156.
  • H. Aust: Einbettung von quasi-projektiven Mannigfaltigkeiten und effektive Resultate, (2009), 9–10.

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Pierre Lelong: Intégration sur un ensemble analytique complexe. In: Bulletin de la Société mathématique de France. Band 79, 1957, ISSN 0037-9484, S. 239–262, doi:10.24033/bsmf.1488.