In der geometrischen Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verallgemeinern Ströme (engl.: currents) den Begriff von Distributionen und implizit (Unter-)Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Georges deRham eingeführt.[1]
Ein
-dimensionaler Strom oder
-Strom in
ist ein stetiges, lineares Funktional auf
. Die Menge der
-dimensionalen Ströme auf
wird mit
bezeichnet.
Mit
wird die Menge der m-linearen alternierenden Formen bezeichnet, so dass
der Raum der
-Formen auf
mit kompaktem Träger ist. Ein Strom ist ein Element des topologischen Dualraums
.
Eine Folge
in
konvergiert schwach gegen einen Strom
, wenn
für alle
; wir scheiben
. Der Träger
eines Stromes
ist die kleinste abgeschlossene Menge
mit der Eigenschaft, dass
für alle
mit
.
Sei
. Der Rand von
ist der Strom
, welcher durch
für alle
definiert ist. Ein Strom heißt geschlossen, wenn sein Rand verschwindet.
Es gilt
, weil
,
, und
impliziert
.
Seien,
. Für
offen und
beliebig. Man setze
und
.
Das definiert ein reguläres äußeres Borel-Maß
auf
. Wir definieren die Masse von
durch
. Den Vektorraum aller
mit
bezeichnen wir mit
. Ein Strom
hat lokal endliche Masse, falls
ein Radon-Maß ist, also falls
endlich auf kompakten Mengen ist, und
bezeichnet den Vektorraum aller dieser Ströme.
Die Theorie der normalen Ströme wurde von H. Federer und W. Flemming eingeführt.[2]
Sei
. Man setze
. Wir nennen
normal, falls
und lokal-normal, falls
ein Radon-Maß ist. Wir bezeichnen den Vektorraum aller normalen Ströme mit
und den Vektorraum aller lokal-normalen Ströme mit
.
Sei
offen und zusammenhängend,
und
. Dann existiert eine Konstante
, sodass
.
Hier ist
, also
für
.
Sei
. Dann ist
dann und nur dann, wenn
für ein
, in welchem Fall
ist. Hier bezeichnet
die Funktionen lokal beschränkter Variation.
Sei
das Hausdorff-Maß auf dem
. Ein Strom
heißt lokal ganzzahlig rektifizierbarer Strom, falls man diesen in folgender Form darstellen kann:
wobei
abzählbar
-rektifizierbar und eine
-messbare Menge ist,
eine lokale
-integrierbare natürliche Funktion auf
ist,
eine
-messbare
-wertige Funktion auf
, sodass für
-fast überall
,
ist einfach,
, und
bezeichnet den approximierten Tangentialraum
.
Die Menge der lokal ganzzahlig rektifizierbaren Strömen in
wird mit
bezeichnet. Ein ganzzahlig rektifizierbarer Strom in
ist eine Element von
.
Der Raum der lokal integrierbaren Ströme in
ist definiert durch
für
und
. Ein Integralstrom in
ist ein Element von
. Weiter bezeichnen wir
.
Ein Strom
heißt minimierbar wenn
für jede kompakte Menge
und jedes
mit kompaktem Träger und Rand
.
- ↑ G. de Rham: Variétés différentiables, formes, courants, formes
harmoniques. Hrsg.: Actualités scientifiques et industrielles, Vol. 1222, Hermann, Paris 1955.
- ↑ Herbert Federer, Wendell H. Fleming: Normal and Integral Currents. In: The Annals of Mathematics. Band 72, Nr. 3, November 1960, ISSN 0003-486X, S. 458, doi:10.2307/1970227.