Lobatschewski-Funktion

Die Lobatschewski-Funktion (engl.: Lobachevsky function) ist eine eng mit der Clausen-Funktion und dem Dilogarithmus zusammenhängende spezielle Funktion der Mathematik. Die Bezeichnung geht auf John Milnor zurück, Lobatschewski hatte ähnliche Funktionen zur Berechnung hyperbolischer Volumina verwendet.

Definition

Graph der Lobatschewski-Funktion, gezeigt wird die bei 500 abgebrochene Reihe (für die Darstellung ausreichende Genauigkeit).

Die Lobatschewski-Funktion ist definiert als Integral

$\Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log \mid 2\sin u\mid du$

Eigenschaften

Die Lobatschewski-Funktion ist stetig, periodisch mit Periode $\pi$ und eine ungerade Funktion. Sie hat eine gleichmäßig konvergierende Fourier-Reihe

$\Lambda (\theta )={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2n\theta )/n^{2}$.

Ihre Ableitungen sind

$\Lambda ^{\prime }(\theta )=-\log \mid 2\sin \theta \mid ,\Lambda ^{\prime \prime }(\theta )=-\cot \theta$.

Man hat die Funktionalgleichung

$\Lambda (n\theta )=\sum _{j\ mod\ n}n\Lambda (\theta +j\pi /n)$

für alle ganzen Zahlen $n\not =0$.

Für $0<\theta <\pi$ gilt

$Li_{2}(e^{i\theta })=Li_{2}(1)+\theta (\pi -\theta )+2i\Lambda (\theta )$,

$2\Lambda (\theta )$ ist also der imaginärteil des (klassischen) Dilogarithmus von $e^{i\theta }$. Der Zusammenhang mit dem Bloch-Wigner-Dilogarithmus ergibt sich durch die Gleichung

$D(e^{i\theta })=2\Lambda ({\frac {\theta }{2}})$.

Volumen hyperbolischer Simplizes

Ein ideales Simplex im 3-dimensionalen hyperbolischen Raum wird durch seine sechs Kantenwinkel bestimmt, wobei gegenüberliegende Winkel gleich groß sind und die drei nicht gegenüberliegenden Winkel $\alpha ,\beta ,\gamma$ die Gleichung $\alpha +\beta +\gamma =\pi$ erfüllen. Das Volumen des idealen Simplex $T_{\alpha ,\beta ,\gamma }$ kann mittels der Lobatschewski-Funktion berechnet werden:

$Vol(T_{\alpha ,\beta ,\gamma })=\Lambda (\alpha )+\Lambda (\beta )+\Lambda (\gamma )$.

Mit Hilfe dieser Formel ergeben sich zahlreiche andere die Lobatschewski-Funktion verwendende Formeln für Volumina hyperbolischer Polyeder.

Literatur

• John Milnor: Hyperbolic geometry: the first 150 years. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), no. 1, 9–24. online
• J. G. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 149, Springer, 2006.