Dilogarithmus

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In der Mathematik werden verschiedene spezielle Funktionen als Dilogarithmus bezeichnet. Der klassische Dilogarithmus ist ein Spezialfall des Polylogarithmus.

Klassischer Dilogarithmus[Bearbeiten]

Werte des klassischen Dilogarithmus auf der reellen Achse.
Hauptartikel: Polylogarithmus

Der klassische Dilogarithmus ist für komplexe Zahlen z mit |z| < 1 definiert durch die Potenzreihe

\operatorname{Li}_2(z)=\sum_{k=1}^\infty\frac{z^k}{k^2}.

Er lässt sich durch analytische Fortsetzung auf \C\setminus\left[1,\infty\right] fortsetzen:


\operatorname{Li}_2 (z) = -\int_0^z{\frac{\log (1-t)}{t}} \,\mathrm{d}t.

(Hierbei muss entlang eines Weges in \C\setminus\left[1,\infty\right] integriert werden.)

Bloch-Wigner-Dilogarithmus[Bearbeiten]

Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist für z\in\C definiert durch

\operatorname{D}_2 (z) = \operatorname{Im} (\operatorname{Li}_2 (z) )+\arg(1-z)\log|z|.

Er ist wohl-definiert und stetig, auch in \left[1,\infty\right].

Er ist analytisch in \C\setminus\left\{0,1\right\}, in 0 und 1 hat er Singularitäten vom Typ  r\log(r).

Rogers-Dilogarithmus[Bearbeiten]

Der Rogers-Dilogarithmus ist definiert durch

 L(x)=\frac{6}{\pi^2}\left(\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{2}\log(x)\log(1-x)\right)

für 0<x<1.

Eine andere gebräuchliche Definition ist

R(x)=\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{2}\log(x)\log(1-x)-\frac{\pi^2}{6}.

Diese hängt mit der erstgenannten via

R(x)=\frac{\pi^2}{6}(L(x)-1)

zusammen.

Man kann R (unstetig) auf ganz \R fortsetzen durch R(1)=0,R(0)=-\frac{\pi^2}{6} und

R(x)=\left\{\begin{array}{c}-R(1/x)\ \mbox{für}\ x>1\\
-R(x/(x-1))\ \mbox{für}\ x<0\end{array}\right\}

Elliptischer Dilogarithmus[Bearbeiten]

Sei E eine über \Q definierte elliptische Kurve. Mittels der Weierstraßschen ℘-Funktion lässt sie sich mittels eines Gitters \Lambda=\left\{1,\tau\right\} parametrisieren durch

\C/\Lambda\rightarrow E(\C)
u mod \Lambda \mapsto (p(u),p^\prime(u)).

Der elliptische Dilogarithmus D^E\colon E(\C)\rightarrow \C ist dann definiert durch

D^E(p(u),p^\prime(u))=\sum_{n=-\infty}^\infty D_2(e^{2\pi i(n\tau+u)}),

wobei D_2 den Bloch-Wigner-Dilogarithmus bezeichnet.

Spezielle Werte[Bearbeiten]

Klassischer Dilogarithmus[Bearbeiten]

Für die folgenden Zahlen lassen sich z und \operatorname{Li}_2(z) in geschlossener Form darstellen:

\operatorname{Li}_2(-1)=-\frac{{\pi}^2}{12},\qquad \operatorname{Li}_2(0)=0,
\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{12}-\frac{\ln^2 2}{2},\qquad \operatorname{Li}_2(1)=\frac{{\pi}^2}{6},
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{\sqrt5-1}{2}\right)=-\frac{{\pi}^2}{15}+\frac{1}{2}\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2},\qquad \operatorname{Li}_2\left(-\frac{\sqrt5+1}{2}\right)=-\frac{{\pi}^2}{10}-\ln^2 \frac{\sqrt5+1}{2},
\operatorname{Li}_2\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{15}-\frac{1}{2}\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2},\qquad \operatorname{Li}_2\left(\frac{\sqrt5+1}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{10}-\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2}.

Mit der sechsten Einheitswurzel \omega=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i und der Gieseking-Konstante V_0=1{,}0149\ldots hat man außerdem

\operatorname{Li}_2(\omega)=\frac{\pi^2}{36}+V_0i,\qquad \operatorname{Li}_2(\omega^2)=-\frac{\pi^2}{18}+\frac{2}{3}V_0i
\operatorname{Li}_2(1+\omega)=\frac{\pi^2}{9}+\frac{2}{3}(V_0+\frac{1}{2}\ln(3)\pi)i,\qquad \operatorname{Li}_2(\frac{1}{1+\omega})=\frac{5\pi^2}{72}-\frac{1}{8}\ln(3)+(\frac{1}{12}\ln(3)\pi-\frac{2}{3}V_0)i.

Bloch-Wigner-Dilogarithm[Bearbeiten]

Werte des Bloch-Wigner-Dilogarithmus können bisher nur numerisch berechnet werden und man kennt nur wenige algebraische Relationen zwischen Werten des Bloch-Wigner-Dilogarithmus. Eine Vermutung von John Milnor besagt für N\ge 3:

die Zahlen D_2(e^{2\pi i\frac{j}{N}}) für 0<j<\frac{N}{2} und \operatorname{ggT}(j,N)=1 sind linear unabhängig über \Q.

Rogers-Dilogarithmus[Bearbeiten]

Es gibt zahlreiche algebraische Identitäten zwischen Werten von L in rationalen oder algebraischen Argumenten. Beispiele spezieller Werte sind

L(0)=0,\quad L\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2},\quad L(1)=1,\quad L\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{2}{5},\quad L\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)=\frac{3}{5}.

Mit der sechsten Einheitswurzel \omega=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i und der Gieseking-Konstante V_0=1,0149... hat man

R(\omega)=-\frac{\pi^2}{12}+V_0i,\qquad R(\omega^2)=-\frac{\pi^2}{6}+(\frac{2}{3}V_0+\frac{1}{6}\ln(3)\pi)i
R(1+\omega)=(\frac{2}{3}V_0+\frac{1}{6}\ln(3)\pi)i,\qquad R(\frac{1}{1+\omega})=-\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{8}\ln(3)+\frac{1}{8}(\ln(3))^2+(-\frac{2}{3}V_0+\frac{1}{12}\ln(3)\pi)i

Funktionalgleichungen[Bearbeiten]

Klassischer Dilogarithmus[Bearbeiten]

Der klassische Dilogarithmus genügt zahlreichen Funktionalgleichungen, zum Beispiel

\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(-z)=\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(z^2)
\operatorname{Li}_2(1-z)+\operatorname{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right)=-\frac{\ln^2z}{2}
\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1-z)=\frac{{\pi}^2}{6}-\ln z \cdot\ln(1-z)
\operatorname{Li}_2(-z)-\operatorname{Li}_2(1-z)+\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(1-z^2)=-\frac  {{\pi}^2}{12}-\ln z \cdot \ln(z+1)
\operatorname{Li}_2(z) +\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{z}\right) = - \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{2}\ln^2(-z)

Bloch-Wigner-Dilogarithmus[Bearbeiten]

Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus genügt den Identitäten

\operatorname{D}_2 (z) = \operatorname{D}_2 \left(1-\frac{1}{z}\right) = \operatorname{D}_2 \left(\frac{1}{1-z}\right) = - \operatorname{D}_2 \left(\frac{1}{z}\right) = -\operatorname{D}_2 (1-z) = -\operatorname{D}_2 \left(\frac{-z}{1-z}\right)

und der 5-Term-Relation

\operatorname{D}_2 (x) + \operatorname{D}_2 (y) + \operatorname{D}_2 \left(\frac{1-x}{1-xy}\right) + \operatorname{D}_2 (1-xy) + \operatorname{D}_2 \left(\frac{1-y}{1-xy}\right) = 0.

Rogers-Dilogarithmus[Bearbeiten]

Der Rogers-Dilogarithmus erfüllt die Beziehung

L(x)+L(1-x)=1

und Abels Funktionalgleichung

L(x)+L(y)=L(xy)+L\left(\frac{x(1-y)}{1-xy}\right)+L\left(\frac{y(1-x)}{1-xy}\right).

Für R hat man

R(x)+R(1-x)=-\frac{\pi^2}{6}

und die 5-Term-Relation

R(x)-R(y)+R(\frac{y}{x})-R(\frac{1-x^{-1}}{1-y^{-1}})+R(\frac{1-x}{1-y})=0,

insbesondere ist R eine wohldefinierte Funktion auf der Blochgruppe.

Weblinks[Bearbeiten]