Dilogarithmus

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In der Mathematik werden verschiedene spezielle Funktionen als Dilogarithmus bezeichnet. Der klassische Dilogarithmus ist ein Spezialfall des Polylogarithmus.

Klassischer Dilogarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Werte des klassischen Dilogarithmus auf der reellen Achse. (Der Imaginärteil ist dort identisch Null.)
Hauptartikel: Polylogarithmus

Der klassische Dilogarithmus ist für komplexe Zahlen mit definiert durch die Potenzreihe

.

Er lässt sich durch analytische Fortsetzung auf fortsetzen:

(Hierbei muss entlang eines Weges in integriert werden.)

Bloch-Wigner-Dilogarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist für definiert durch

.

Er ist wohl-definiert und stetig, auch in .

Er ist analytisch in , in 0 und 1 hat er Singularitäten vom Typ .

Rogers-Dilogarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Rogers-Dilogarithmus ist definiert durch

für .

Eine andere gebräuchliche Definition ist

.

Diese hängt mit der erstgenannten via

zusammen.

Man kann (unstetig) auf ganz fortsetzen durch und

Elliptischer Dilogarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine über definierte elliptische Kurve. Mittels der Weierstraßschen ℘-Funktion lässt sie sich mittels eines Gitters parametrisieren durch

mod .

Der elliptische Dilogarithmus ist dann definiert durch

,

wobei den Bloch-Wigner-Dilogarithmus bezeichnet.

Der elliptische Dilogarithmus stimmt bis auf rationale Vielfache von mit dem Wert der L-Funktion überein.[1]

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Klassischer Dilogarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die folgenden Zahlen lassen sich und in geschlossener Form darstellen:

,
,
,
.

Mit der sechsten Einheitswurzel und der Gieseking-Konstante hat man außerdem

.

Bloch-Wigner-Dilogarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Werte des Bloch-Wigner-Dilogarithmus können bisher nur numerisch berechnet werden und man kennt nur wenige algebraische Relationen zwischen Werten des Bloch-Wigner-Dilogarithmus. Eine Vermutung von John Milnor besagt für :

die Zahlen für und sind linear unabhängig über .

Rogers-Dilogarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt zahlreiche algebraische Identitäten zwischen Werten von in rationalen oder algebraischen Argumenten. Beispiele spezieller Werte sind

.

Mit der sechsten Einheitswurzel und der Gieseking-Konstante hat man

Funktionalgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Klassischer Dilogarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der klassische Dilogarithmus genügt zahlreichen Funktionalgleichungen, zum Beispiel

Bloch-Wigner-Dilogarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus genügt den Identitäten

und der 5-Term-Relation

Rogers-Dilogarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Rogers-Dilogarithmus erfüllt die Beziehung

und Abels Funktionalgleichung

.

Für hat man

und die 5-Term-Relation

,

insbesondere ist eine wohldefinierte Funktion auf der Blochgruppe.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. K2 and L-functions of elliptic curves