Funktionalgleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Als Funktionalgleichung wird in der Mathematik eine Gleichung bezeichnet, zu deren Lösung eine oder mehrere Funktionen gesucht werden. Viele Funktionen können über eine zugrunde liegende Funktionalgleichung definiert werden. Üblicherweise werden als Funktionalgleichungen nur solche Gleichungen bezeichnet, die nicht durch Umformungen auf eine explizite geschlossene Form für die gesuchte Funktion(en) gebracht werden können, und in denen die gesuchte Funktion mit unterschiedlichen Argumenten auftritt.

Bei der Untersuchung von Funktionalgleichungen ist man an allen Lösungsfunktionen des untersuchten Funktionsraumes interessiert, nicht nur an einer. Ansonsten ist es ziemlich trivial zu irgendeiner gegebenen Funktion eine Funktionalgleichung zu konstruieren.

„It is natural to ask what a functional equation is. But there is no easy satisfactory answer to this question.“[1]

Von Cauchy untersuchte Funktionalgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Augustin Louis Cauchy hat 1821 in seinem Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, Kapitel 5 die stetigen Lösungen der folgenden Funktionalgleichungen untersucht [2]:

Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind die linearen Funktionen , wobei eine reelle Konstante ist. Für diese Funktionalgleichung hat sich die Bezeichnung Cauchy(sche)-Funktionalgleichung eingebürgert.

Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind die Potenzfunktionen , wobei eine reelle Konstante ist.

Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind die Exponentialfunktionen , wobei eine positive reelle Konstante ist.

Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind die Logarithmusfunktionen , wobei eine positive reelle Konstante ist.

Ferner ist die Nullfunktion eine triviale Lösung jeder dieser Funktionalgleichungen.

Bekannte Funktionalgleichungen spezieller Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gammafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalgleichung

wird durch die Gammafunktion erfüllt. Betrachtet man nur Funktionen, die logarithmisch konvex sind, so werden alle Lösungen dieser Gleichung durch beschrieben, mit . Dies ist der Satz von Bohr-Mollerup über die Eindeutigkeit der Gammafunktion als Fortsetzung der Fakultäten von nach .

Ferner ist die Gammafunktion auch eine Lösung der Funktionalgleichung

die nur eine spezielle Art der „Reflektionssymmetrie“ um darstellt wie man mittels der Substitution und anschließendem Logarithmieren der neuen Funktionalgleichung sieht.

Polygammafunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für werden die Funktionalgleichungen

durch die Polygammafunktionen erfüllt. Für festes werden alle stetigen und monotonen Lösungen durch die Funktionen dargestellt mit beliebigem .

Bernoulli-Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für werden die Funktionalgleichungen

durch die Bernoulli-Polynome erfüllt. Alle stetigen Lösungen dieser Gleichung werden durch plus weitere (periodische) Lösungen der homogenen Funktionalgleichung beschrieben, wobei a eine beliebige reelle Zahl ist. Genaueres dazu im nachfolgenden Abschnitt.

Periodische Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalgleichung

stellt den homogenen Lösungensanteil der obigen Funktionsgleichungen dar, da man deren Lösung einfach auf eine Lösung irgendeiner inhomogenen Funktionsgleichung addieren kann und so eine neue erhält, solange man keine weiteren einschränkenden Bedingungen verletzt. Betrachtet man alle holomorphen Funktionen auf ganz , so werden alle Lösungsfunktionen dargestellt durch

Linearkombinationen von mit .

Diese Erkenntnis ist eine Grundlage der Fourieranalyse. Alle diese Funktionen sind, ausgenommen der Fall n = 0, weder konvex noch monoton.

Zetafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalgleichung

wird durch die Riemannsche Zetafunktion erfüllt. bezeichnet dabei die Gammafunktion.

Anmerkung: Durch die Substitution

und anschließende algebraische Vereinfachung wird diese Funktionalgleichung für in eine neue für überführt, die

lautet. Somit kann die ursprüngliche Funktionalgleichung durch Transformation auf eine Gestalt gebracht werden, die lediglich eine gerade Funktion um fordert. Die entsprechend so transformierte Riemannsche Zetafunktion ist als Riemannsche Xi-Funktion bekannt.

Gerade und ungerade Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die beiden Funktionsgleichungen

werden von allen geraden bzw. ungeraden Funktionen erfüllt. Eine weitere „einfache“ Funktionsgleichung ist

also alle Funktionen, die ihre eigene Umkehrfunktion auf dem Intervall sind, beschreiben ihre Lösungsmenge. Bei diesen drei Funktionsgleichungen steht aber eher die Frage im Mittelpunkt, wie ihre Lösungen sinnvollerweise zu charakterisieren sind.

„reelle“ Iterierte einer Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei eine analytische, bijektive Funktion , dann lautet Schröders Funktionalgleichung

mit einem festen zu bestimmenden . Wendet man auf beiden Seiten dieser Gleichung die inverse Funktion von an, dann kann man dies verallgemeinern zur Definition von

und für irgendein festes t verhält sich diese Funktion wie eine t-fach iterierte Funktion . Ein einfaches Beispiel: gegeben sei für festes die allgemeine Potenzfunktion für auf . In diesem Fall lautet die Lösung der Schröderschen Gleichung und mit dem Ergebnis, dass wird.

Modulformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalgleichung

wobei gegeben sind, wird in der Definition von Modulformen verwendet.

Wavelets und Approximationstheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für und definiert die Funktionalgleichung

in der Theorie der Waveletbasen die Skalierungsfunktion einer Multiskalenanalyse. Die in der Approximationstheorie und Computergraphik wichtigen B-Splines sind Lösungen einer solchen Verfeinerungsgleichung, weitere Lösungen samt den Koeffizienten finden sich unter Daubechies-Wavelets. Es gibt Erweiterungen mit vektorwertigem Lösungsfunktionen f und Matrizen als Koeffizienten.

Sinus und Kosinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man die Funktionalgleichung die die Exponentialfunktion über den komplexen Zahlen erfüllt und teilt den Wertebereich in Real- und Imaginärteil auf, also , und schränkt ferner den Definitionsbereich auf ein, so erhält man zwei Funktionalgleichungen in zwei unbekannten Funktionen, nämlich

und

das den Additionstheoremen entspricht und als Funktionalgleichungssystem für die reellen Sinus und Kosinus-Funktionen aufgefasst werden kann.

Weitere Beispiele allgemeiner Funktionalgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rekursionsgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine einfache Klasse von Funktionalgleichungen besteht aus den Rekursionsgleichungen über . Formal betrachtet wird dabei eine unbekannte Funktion gesucht.

Ein sehr einfaches Beispiel einer solchen Rekursionsgleichung ist etwa die lineare Gleichung der Fibonacci-Folge:

.

Diese kann man natürlich auch eingebettet in die Menge der reellen Zahlen betrachten, also hier

deren analytische Lösungen dann alle die Form

haben mit beliebigem . Nur als Funktion lassen sich alle ihre Lösungsfunktionen z. B. als

angeben. Obwohl in dieser Darstellung irrationale Zahlen auftreten, ergibt sich für jedes ein ganzzahliger Wert, solange sind.

Rechengesetze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechengesetze wie Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz können ebenfalls als Funktionalgleichungen interpretiert werden.

Beispiel Assoziativgesetz: Gegeben sei eine Menge . Für ihre binäre assoziative Verknüpfung  bzw. zweiparametrige Funktion gelten für alle

Infixnotation:

und in

Präfixnotation:

wobei identifiziert wird.

Bezeichne die binäre Verknüpfungsfunktion 2ter Stufe (z.B. Multiplikation) und die Verknüpfungsfunktion 1ster Stufe (z.B. Addition), dann würde ein Distributivgesetz als Funktionalgleichung geschrieben

für alle

lauten.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allen Beispielen ist gemeinsam, dass zwei oder mehr bekannte Funktionen (Multiplikation mit einer Konstanten, Addition, oder einfach nur die identische Funktion) als Argumente der unbekannte Funktion verwendet werden.

Bei der Suche nach allen Lösungen einer Funktionalgleichung werden oft Zusatzbedingungen gestellt, beispielsweise wird bei der oben erwähnten Cauchy-Gleichung für vernünftige Lösungen Stetigkeit gefordert. Georg Hamel hat allerdings 1905 gezeigt, dass unter Voraussetzung des Auswahlaxioms auch unstetige Lösungen existieren.[3] Diese Lösungen basieren auf einer Hamelbasis der reellen Zahlen als Vektorraum über den rationalen Zahlen und sind vor allem von theoretischer Bedeutung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Janos Aczel: Lectures on Functional Equations and Their Applications, Dover 2006, ISBN 0486445232

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer 2009, ISBN 978-0-387-89491-1, preface
  2. visualiseur.bnf.fr
  3. G. Hamel: Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y). Math. Ann. 60, 459–462, 1905.