Funktionalgleichung

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Als Funktionalgleichung wird in der Mathematik eine Gleichung bezeichnet, zu deren Lösung eine oder mehrere Funktionen gesucht werden. Viele Funktionen können über eine zugrunde liegende Funktionalgleichung definiert werden. Üblicherweise werden als Funktionalgleichungen nur solche Gleichungen bezeichnet, die nicht durch Umformungen auf eine explizite geschlossene Form für die gesuchte Funktion(en) gebracht werden können, und in denen die gesuchte Funktion mit unterschiedlichen Argumenten auftritt.

Bei der Untersuchung von Funktionalgleichungen ist man an allen Lösungsfunktionen des untersuchten Funktionsraumes interessiert, nicht nur an einer. Ansonsten ist es ziemlich trivial, zu irgendeiner gegebenen Funktion eine Funktionalgleichung zu konstruieren.

“It is natural to ask what a functional equation is. But there is no easy satisfactory answer to this question.”

„Es ist natürlich, sich zu fragen, was eine Funktionalgleichung ist. Aber es gibt keine zufriedenstellende Antwort auf diese Frage.“[1]

Von Cauchy untersuchte Funktionalgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Augustin Louis Cauchy untersuchte 1821 in Kapitel 5 seines Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique die stetigen Lösungen der folgenden Funktionalgleichungen:[2]

  1. Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung, also die Lösungen unter der Annahme, dass die Funktion stetig ist, sind die "stetigen" linearen Funktionen, für jede reelle Konstante . Für diese Funktionalgleichung hat sich die Bezeichnung Cauchy’sche Funktionalgleichung oder Cauchy-Funktionalgleichung eingebürgert.

  2. Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind die Potenzfunktionen, für jede reelle Konstante .

  3. Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind die Exponentialfunktionen, für jede positive reelle Konstante .

  4. Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind die Logarithmusfunktionen, für jede positive reelle Konstante .

Ferner ist die Nullfunktion eine triviale Lösung jeder dieser Funktionalgleichungen.

Bekannte Funktionalgleichungen spezieller Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gammafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalgleichung

wird durch die Gammafunktion erfüllt. Betrachtet man nur Funktionen, die logarithmisch konvex sind, so werden alle Lösungen dieser Gleichung durch beschrieben, mit . Dies ist der Satz von Bohr-Mollerup über die Eindeutigkeit der Gammafunktion als Fortsetzung der Fakultäten von nach .

Ferner ist die Gammafunktion auch eine Lösung der Funktionalgleichung

die nur eine spezielle Art der „Reflexionssymmetrie“ um darstellt, wie man mittels der Substitution und anschließendem Logarithmieren der neuen Funktionalgleichung sieht.

Polygammafunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für werden die Funktionalgleichungen

durch die Polygammafunktionen erfüllt. Für festes lassen sich alle stetigen und monotonen Lösungen als mit beliebigem darstellen.

Bernoulli-Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für werden die Funktionalgleichungen

durch die Bernoulli-Polynome erfüllt. Alle stetigen Lösungen dieser Gleichung sind durch plus weitere (periodische) Lösungen der homogenen Funktionalgleichung beschrieben, wobei eine beliebige reelle Zahl ist. Genaueres dazu im nachfolgenden Abschnitt.

Periodische Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalgleichung

stellt den homogenen Lösungsanteil der obigen Funktionsgleichungen dar, da man deren Lösung einfach auf eine Lösung irgendeiner inhomogenen Funktionsgleichung addieren kann und so eine neue Lösung erhält, solange man keine weiteren einschränkenden Bedingungen verletzt. Betrachtet man alle holomorphen Funktionen auf ganz , so sind alle Lösungsfunktionen Linearkombinationen von mit . Diese Erkenntnis ist eine Grundlage der Fourieranalyse. Alle diese Funktionen sind, ausgenommen der Fall , weder konvex noch monoton.

Zetafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalgleichung

wird durch die Riemannsche Zetafunktion erfüllt. bezeichnet dabei die Gammafunktion.

Anmerkung: Durch die Substitution

und anschließende algebraische Vereinfachung wird diese Funktionalgleichung für in eine neue für überführt, die

lautet. Somit kann die ursprüngliche Funktionalgleichung durch Transformation auf eine Gestalt gebracht werden, die lediglich eine gerade Funktion um fordert. Die entsprechend so transformierte Riemannsche Zetafunktion ist als Riemannsche Xi-Funktion bekannt.

Gerade und ungerade Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die beiden Funktionsgleichungen

werden von allen geraden bzw. ungeraden Funktionen erfüllt. Eine weitere „einfache“ Funktionsgleichung ist

Ihre Lösungsmenge sind alle Funktionen, die ihre eigene Umkehrfunktion auf dem Intervall sind. Bei diesen drei Funktionsgleichungen steht aber eher die Frage im Mittelpunkt, wie ihre Lösungen sinnvollerweise zu charakterisieren sind.

„reelle“ Iterierte einer Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei eine analytische, bijektive Funktion für , dann lautet Schröders Funktionalgleichung

wobei nicht nur die Funktion zu bestimmen ist, sondern auch die Konstante . Wendet man auf beiden Seiten dieser Gleichung die inverse Funktion von an, dann kann man dies verallgemeinern zur Definition von

Für irgendein festes verhält sich die Funktion wie die Funktion , wenn man sie -fach iteriert. Für die Potenzfunktion mit beliebigem festem lautet die Lösung der Schröderschen Gleichung und . Es ist dann .

Modulformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalgleichung

wobei vorgegeben sind, wird in der Definition von Modulformen verwendet.

Wavelets und Approximationstheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für und definiert die Funktionalgleichung

in der Theorie der Waveletbasen die Skalierungsfunktion einer Multiskalenanalyse. Die in der Approximationstheorie und Computergraphik wichtigen B-Splines sind Lösungen einer solchen Verfeinerungsgleichung, weitere Lösungen samt den Koeffizienten finden sich unter Daubechies-Wavelets. Es gibt Erweiterungen mit vektorwertigem Lösungsfunktionen und Matrizen als Koeffizienten.

Sinus und Kosinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Exponentialfunktion über den komplexen Zahlen erfüllt die Funktionalgleichung . Teilt man ihren Wertebereich in Real- und Imaginärteil auf, also , so erhält man zwei Funktionalgleichungen in zwei unbekannten Funktionen, nämlich

und

die den Additionstheoremen entsprechen und als Funktionalgleichungssystem für die reellen Sinus-und-Kosinus-Funktionen aufgefasst werden können.

Weitere Beispiele allgemeiner Funktionalgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rekursionsgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rekursionsgleichungen bilden eine einfache Klasse von Funktionalgleichungen über . Formal betrachtet wird dabei eine unbekannte Funktion gesucht.

Ein sehr einfaches Beispiel einer solchen Rekursionsgleichung ist etwa die lineare Gleichung der Fibonacci-Folge:

.

Diese kann man natürlich auch eingebettet über den reellen statt „nur“ über den ganzen Zahlen betrachten, also hier

deren analytische Lösungen dann alle die Form

für beliebige haben. Nur als Funktion lassen sich alle ihre Lösungsfunktionen z. B. als

angeben. Obwohl in dieser Darstellung irrationale Zahlen auftreten, ergibt sich für jedes ein ganzzahliger Wert, solange sind.

Rechengesetze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechengesetze wie Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz können ebenfalls als Funktionalgleichungen interpretiert werden.

Beispiel Assoziativgesetz: Gegeben sei eine Menge . Das Assoziativgesetz für eine binäre Verknüpfung  bzw. zweiparametrige Funktion lautet

(Infixnotation)

bzw.

(Präfixnotation)

jeweils für alle , wobei mit identifiziert wird.

Das Distributivgesetz für zwei Verknüpfungen (z. B. Addition) und (z. B. Multiplikation) lautet als Funktionalgleichung geschrieben

für alle .

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allen Beispielen ist gemeinsam, dass zwei oder mehr bekannte Funktionen (Multiplikation mit einer Konstanten, Addition, oder einfach nur die identische Funktion) als Argumente der unbekannte Funktion verwendet werden.

Bei der Suche nach allen Lösungen einer Funktionalgleichung werden oft Zusatzbedingungen gestellt, beispielsweise wird bei der oben erwähnten Cauchy-Gleichung für vernünftige Lösungen Stetigkeit gefordert. Tatsächlich existieren unter Voraussetzung des Auswahlaxioms auch unstetige Lösungen, wie Georg Hamel 1905 zeigte.[3] Diese Lösungen basieren auf einer Hamelbasis der reellen Zahlen als Vektorraum über den rationalen Zahlen und sind vor allem von theoretischer Bedeutung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Janos Aczel: Lectures on Functional Equations and Their Applications, Dover 2006, ISBN 0486445232

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer 2009, ISBN 978-0-387-89491-1, preface
  2. visualiseur.bnf.fr
  3. G. Hamel: Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung . Math. Ann. 60, 459–462, 1905.