Minkowski-Summe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Minkowski-Summe (nach Hermann Minkowski) zweier Teilmengen und eines Vektorraums ist die Menge, deren Elemente Summen von je einem Element aus und einem Element aus sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien zwei Teilmengen eines Vektorraums. Dann ist die Minkowski-Summe definiert durch

.

Teilweise wird die Minkowski-Summe auch mit dem -Zeichen anstatt mit dem normalen Pluszeichen notiert.[1] Im Bereich der linearen Algebra und der Funktionalanalysis kann dies jedoch zu Verwechslungen mit der direkten Summe führen.

Anwendungen findet die Minkowski-Summe zum Beispiel in der 2D- und 3D-Computergrafik und Bildverarbeitung (speziell Morphologie; wird dort allerdings meist binäre Dilation oder Dilatation genannt. Das Gegenstück ist die Erosion), in der linearen Optimierung (zum Beispiel Minkowski-Summe eines Polytops und eines Polyederkegels), in der Funktionalanalysis und in der Robotersteuerung.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Minkowski-Summe ist assoziativ, kommutativ und distributiv bezüglich der Vereinigung von Mengen, das heißt .

Für die Mächtigkeit der Minkowski-Summe gilt , denn jedes Element wird mit jedem addiert und mehrfache Summen befinden sich nur einmal in der Menge.

Die Minkowski-Summe aus konvexen Mengen ist wieder eine konvexe Menge. Bei konvexen Mengen kann die Berechnung der Minkowski-Summe auch sehr leicht grafisch erfolgen: Man schiebt ein Polytop auf dem Rand des anderen entlang und der überdeckte Bereich ist die Minkowski-Summe.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben A und B mit Elementen aus :

Minkowski-sumex1.svg Minkowski-sumex2.svg

Dann ist die Minkowski-Summe von A und B nach sturer Berechnung:

Der Punkt (1,0) kommt dreifach vor, d.h.

A und B stellen gleichschenklige Dreiecke (konvex) dar. Die Minkowski-Summe ergibt ein konvexes Sechseck, das man als entstanden durch Entlangfahren von B am Rand von A auffassen kann, wie die Abbildung zeigt.

Minkowski-sumex3.svg Minkowski-sumex4.svg

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, and Otfried Schwarzkopf: Computational Geometry: Algorithms and Applications. Springer-Verlag.