Kommutativgesetz

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Eine Verknüpfung ist kommutativ, wenn stets gilt. In dieser Abbildung wird die Vorstellung einer Operation als Maschine genutzt, die aus zwei Eingaben ein Ergebnis macht. Wenn die Verknüpfung kommutativ ist, dann ist es egal, in welcher Reihenfolge die Eingaben und auftreten – das Ergebnis ist dasselbe wie .

Das Kommutativgesetz (lat. commutare „vertauschen“), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Wenn sie gilt, können die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz unterliegen, nennt man kommutativ.

Das Kommutativgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz grundlegende Regeln der Algebra.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und Mengen. Eine binäre Verknüpfung heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit gilt.

Beispiele und Gegenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vektoraddition ist kommutativ, weil ist.

Reelle Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Addition natürlicher Zahlen ist kommutativ.

Für reelle Zahlen gilt stets

und

,

die Operationen Addition und Multiplikation sind also kommutativ. Die erste Formel wird auch Kommutativgesetz der Addition, die zweite Kommutativgesetz der Multiplikation genannt. Die Subtraktion und die Division reeller Zahlen sind dagegen keine kommutative Operationen. Auch die Potenzierung ist nicht kommutativ ( wäre ein Gegenbeispiel).

Die älteste überlieferte Form des Kommutativgesetzes der Addition ist die sumerische Fabel vom klugen Wolf und den neun dummen Wölfen.

Skalarprodukte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Skalarprodukt in einem reellen Vektorraum ist kommutativ, es gilt also stets .
  • Das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum ist dagegen nicht kommutativ, es gilt vielmehr , wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bezeichnet.

Mengenoperation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Mengenlehre sind die Vereinigung und der Schnitt kommutative Operationen; für Mengen gilt also stets:

(Vereinigung)
(Schnitt)

Dagegen ist die Differenz nicht kommutativ. und sind also manchmal verschiedene Mengen, z. B. für und .

Matrizenrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Addition von Matrizen über einem Ring oder Körper ist kommutativ. Die Matrizenmultiplikation ist dagegen nicht kommutativ: Die Faktoren sind zwar manchmal, aber nicht immer vertauschbar.

Ebenfalls kommutativ sind die Multiplikation von Matrizen mit Skalaren und die Matrizenmultiplikation im Unterring der Diagonalmatrizen.

Gruppentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein nennt man eine Gruppe, bei der die Verknüpfung von Gruppenelementen kommutativ ist, abelsch.

Aussagenlogik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Aussagenlogik

In der Aussagenlogik gilt für die Junktoren:

  • („oder“) ist kommutativ.
  • („und“) ist kommutativ.
  • („logische Äquivalenz“) ist kommutativ.
  • („wenn …, dann …“; siehe Implikation) ist nicht kommutativ.

Weitere Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weitere Beispiele für nichtkommutative Operationen sind das Kreuzprodukt in Vektorräumen oder die Multiplikation von Quaternionen.

Kommutativität ist außerdem eine wichtige Grundeigenschaft in der Quantenmechanik.

Antikommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einigen Strukturen mit zwei Operationen, beispielsweise beim Kreuzprodukt in Vektorräumen, gilt nicht das Kommutativgesetz, sondern stattdessen eine Art Gegenteil davon:

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Symmetrische Relation

Die Kommutativität, die das Vertauschen von Argumenten bei einer Operation erlaubt, weist Ähnlichkeit mit der Symmetrie-Eigenschaft von Relationen auf, die das Vertauschen der verglichenen Elemente bzgl. der Relation erlaubt: genau dann, wenn .

Flexibilitätsgesetz

Eine alternative Möglichkeit des „Um-Klammerns“ bietet das Flexibilitätsgesetz für eine Verknüpfung *:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Otto Forster: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. (Analysis, Bd. 1). 10. Aufl. Verlag Vieweg & Teubner, Braunschweig 2011, ISBN 978-3-8348-1251-3.