Minor (Mathematik)

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Minor oder Unterdeterminante ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit die Determinante einer quadratischen Untermatrix, die durch Streichen einer oder mehrerer Spalten und Zeilen einer Matrix entsteht. Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der entsprechenden Untermatrix gibt die Ordnung des Minors an.

Kofaktoren [Bearbeiten]

Zu einer quadratischen n \times n-Matrix A = (a_{ij})_{ij} lassen sich die Kofaktoren (oder Cofaktoren) \tilde a_{ij} gemäß folgender Formel berechnen:[1]

\tilde a_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}

Dabei ist M_{ij} der Minor (n-1)-ter Ordnung, der aus derjenigen Untermatrix berechnet wird, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.

Statt Zeilen und Spalten zu streichen, kann man auch Matrizen betrachten, bei denen die Einträge der i-ten Zeile oder der j-ten Spalte (oder beider) durch Nullen ersetzt werden, mit Ausnahme des Eintrags an der Stelle (i,j), der durch eine 1 ersetzt wird. Man erhält dann für die Kofaktoren:

\tilde a_{ij} = 
\begin{vmatrix}
a_{1,1}   & \dots  & a_{1,j-1}   & 0      & a_{1,j+1}   & \dots  & a_{1,n}  \\
\vdots    & \ddots & \vdots      & \vdots &  \vdots     &        & \vdots   \\
a_{i-1,1} & \dots  & a_{i-1,j-1} &0       & a_{i-1,j+1} & \dots  & a_{i-1,n}\\
0         & \dots  & 0           & 1      & 0           & \dots  & 0        \\
a_{i+1,1} & \dots  & a_{i+1,j-1} &0       & a_{i+1,j+1} & \dots  & a_{i+1,n}\\ 
\vdots    &        & \vdots      & \vdots &  \vdots     & \ddots & \vdots   \\
a_{n,1}   & \dots  & a_{n,j-1}   & 0      & a_{n,j+1}   & \dots  & a_{n,n}
\end{vmatrix}

Aus den Kofaktoren lässt sich wieder eine n \times n-Matrix bilden, die Kofaktormatrix oder Komatrix, deren Transponierte als Adjunkte oder komplementäre Matrix bezeichnet wird. Mit ihr kann man die Inverse einer Matrix berechnen. Der Laplace'sche Entwicklungssatz verwendet die Kofaktoren einer Matrix zur Berechnung ihrer Determinante.

Beispiel[Bearbeiten]

Es soll der Minor M_{2,3} und der Kofaktor \tilde a_{2,3} der folgenden Matrix bestimmt werden:

A =
  \begin{pmatrix}
    1 & 4 & 7 \\
    3 & 0 & 5 \\
   -1 & 9 &11
  \end{pmatrix}

Durch Streichen der zweiten Zeile und dritten Spalte


  \begin{pmatrix}
    1 & 4 & \Box \\
    \Box & \Box & \Box \\
   -1 & 9 & \Box
  \end{pmatrix}

entsteht die Matrix

A_{2,3} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \end{pmatrix}

Daraus lässt sich der Minor M_{2,3} berechnen.

M_{2,3} =
  \begin{vmatrix}
    1 & 4 \\
   -1 & 9
  \end{vmatrix} =
  9 + 4 = 13.

Für den Kofaktor \tilde a_{2,3} gilt

\tilde a_{2,3} = (-1)^{2+3} \cdot M_{2,3} = -13

bzw.

\tilde a_{2,3} = \begin{vmatrix}
    1 & 4 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
   -1 & 9 & 0
  \end{vmatrix} = -13

Hauptminoren[Bearbeiten]

Entstehen Minoren durch Streichungen derselben Zeile und Spalte, gilt für sie also i=j, spricht man von Hauptminoren k-ter Ordnung. Bleiben genau die ersten k Zeilen und Spalten übrig, so spricht man von führenden Hauptminoren k-ter Ordnung.[2] Die führenden Hauptminoren werden mitunter auch natürlich geordnete Hauptminoren genannt.[3] Im deutschsprachigen Raum werden die führenden Hauptminoren oft verkürzt nur Hauptminoren genannt.[4] Dies hängt insbesondere damit zusammen, dass für viele Anwendungen nicht alle Hauptminoren untersucht werden müssen.[3]

Zur Veranschaulichung mache man sich klar, wie viele Minoren, Hauptminoren und führende Hauptminoren eine 3x3-Matrix hat. Streicht man zunächst gleichzeitig die i-te Zeile und i-te Spalte für i=1,2,3 verbleiben 3 Hauptminoren zweiter Ordnung. Nun ist es aber gerade auch erlaubt jeweils mehrere Zeilen und die gleich nummerierten Spalten zu streichen, tut man dies in diesem Fall mit zweien, verbleiben 3 Hauptminoren erster Ordnung. Umso mehr Zeilen gestrichen werden, desto kleiner die Ordnung.


Die Hauptminoren haben eine Bedeutung für die Feststellung der Definitheit symmetrischer bzw. hermitescher Matrizen; für das Hauptminorenkriterium siehe den Abschnitt Hauptminoren des Artikels Definitheit.

Beispiel zu Hauptminoren und führenden Hauptminoren[Bearbeiten]

Die 3×3-Matrix

A =
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
  \end{pmatrix}

besitzt genau 3 führende Hauptminoren zu den Untermatrizen, die sich als deren Determinanten ergeben:

A_{1} =
  \begin{pmatrix}
    1 
  \end{pmatrix}; \quad
  A_{2} =
  \begin{pmatrix}
     1 & 2 \\
    4 & 5  \\
  \end{pmatrix}; \quad
  A_{3}  =
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
  \end{pmatrix}.
  • Führender Hauptminor 1. Ordnung:   \det(A_1) = 1;
  • Führender Hauptminor 2. Ordnung:  
  \det(A_2) =
  \begin{vmatrix}
     1 & 2 \\
    4 & 5  \\
  \end{vmatrix} 
   = -3
  • Führender Hauptminor 3. Ordnung: 
  \det(A_3) =
  \begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
  \end{vmatrix}
= 0 \,.

Führende Hauptminoren sind spezielle Hauptminoren. Sie entstehen in diesem Fall durch keinmalige, einmalige und zweimalige Streichung von Zeilen und Spalten. Es gibt nur einen Hauptminor 3. Ordnung, der gleichzeitig führend ist (die Determinante der gesamten Matrix). Allerdings sind weitere Hauptminoren 1. und 2. Ordnung denkbar:

  • Weiterer Hauptminor 1. Ordnung:   \det(a_{22}) = 5;
  • Weiterer Hauptminor 2. Ordnung:  
  \det \begin{pmatrix}
     a_{11} & a_{13} \\
    a_{31} & a_{33}  \\
  \end{pmatrix} =
  \begin{vmatrix}
     1 & 3 \\
    7 & 9  \\
  \end{vmatrix} 
   = -12

Einzelnachweis[Bearbeiten]

  1. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 148
  2. Frank Riedel: Mathematik fur Ökonomen. Springer; Auflage: 2. verb. Aufl. 2009 (28. September 2009). ISBN 978-3642036484. S. 220
  3. a b Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright, Harald Nitsch: Mathematik für Ökonomen - Grundlagen, Methoden und Anwendungen. Vahlen; Auflage: 1. Auflage. (Januar 2011). ISBN 978-3800636631. Seite 80
  4. Beispielsweise: Norbert Herrmann: Höhere Mathematik: für Ingenieure, Physiker und Mathematiker. Oldenbourg Wissenschaftsverlag; Auflage: 2. überarb. Auflage (1. September 2007). ISBN 978-3486584479. Seite 13

Literatur[Bearbeiten]

  • Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2, S. 193