Symmetrische Matrix

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Symmetriemuster einer symmetrischen (5×5)-Matrix

Eine symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sind. Eine symmetrische Matrix stimmt demnach mit ihrer transponierten Matrix überein.

Die Summe zweier symmetrischer Matrizen und jedes skalare Vielfache einer symmetrischen Matrix ist wieder symmetrisch. Die Menge der symmetrischen Matrizen fester Größe bildet daher einen Untervektorraum des zugehörigen Matrizenraums. Jede quadratische Matrix lässt sich dabei eindeutig als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix schreiben. Das Produkt zweier symmetrischer Matrizen ist wiederum symmetrisch, sofern die beiden Matrizen kommutieren. Das Produkt einer beliebigen Matrix mit ihrer Transponierten ergibt eine symmetrische Matrix.

Symmetrische Matrizen mit reellen Einträgen weisen eine Reihe weiterer besonderer Eigenschaften auf. So ist eine reelle symmetrische Matrix stets selbstadjungiert, sie besitzt nur reelle Eigenwerte und sie ist stets orthogonal diagonalisierbar. Für komplexe symmetrische Matrizen gelten diese Eigenschaften im Allgemeinen nicht; das entsprechende Gegenstück sind dort hermitesche Matrizen. Eine wichtige Klasse reeller symmetrischer Matrizen sind positiv definite Matrizen, bei denen alle Eigenwerte positiv sind.

In der linearen Algebra werden symmetrische Matrizen zur Beschreibung symmetrischer Bilinearformen verwendet. Die Darstellungsmatrix einer selbstadjungierten Abbildung bezüglich einer Orthonormalbasis ist ebenfalls stets symmetrisch. Lineare Gleichungssysteme mit symmetrischer Koeffizientenmatrix lassen sich effizient und numerisch stabil lösen. Weiterhin werden symmetrische Matrizen bei Orthogonalprojektionen und bei der Polarzerlegung von Matrizen verwendet.

Symmetrische Matrizen besitzen Anwendungen unter anderem in der Geometrie, der Analysis, der Graphentheorie und der Stochastik.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine quadratische Matrix über einem Körper heißt symmetrisch, wenn für ihre Einträge

für gilt. Eine symmetrische Matrix ist demnach spiegelsymmetrisch bezüglich ihrer Hauptdiagonale, das heißt, es gilt

,

wobei die transponierte Matrix bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiele für symmetrische Matrizen mit reellen Einträgen sind

.

Allgemein haben symmetrische Matrizen der Größe , und die Struktur

.

Klassen symmetrischer Matrizen beliebiger Größe sind unter anderem

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einträge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer symmetrischen Matrix müssen nur die Einträge auf und unterhalb der Diagonalen gespeichert werden

Aufgrund der Symmetrie wird eine symmetrische Matrix bereits durch ihre Diagonaleinträge und die Einträge unterhalb (oder oberhalb) der Diagonalen eindeutig charakterisiert. Eine symmetrische Matrix weist demnach höchstens

verschiedene Einträge auf. Im Vergleich dazu kann eine nichtsymmetrische -Matrix bis zu unterschiedliche Einträge besitzen, also bei großen Matrizen fast doppelt so viele. Zur Speicherung symmetrischer Matrizen im Computer gibt es daher spezielle Speicherformate, die diese Symmetrie ausnutzen.[1]

Summe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summe zweier symmetrischer Matrizen ist stets wieder symmetrisch, denn

.

Ebenso ist auch das Produkt einer symmetrischen Matrix mit einem Skalar wieder symmetrisch. Nachdem auch die Nullmatrix symmetrisch ist, bildet die Menge der symmetrischen -Matrizen einen Untervektorraum

des Matrizenraums . Dieser Untervektorraum besitzt die Dimension , wobei die Standardmatrizen , , und , darin eine Basis bilden.

Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls die Charakteristik des Körpers ungleich 2 ist, lässt sich jede beliebige quadratische Matrix eindeutig als Summe einer symmetrischen Matrix und einer schiefsymmetrischen Matrix schreiben, indem

  und  

gewählt werden. Die schiefsymmetrischen Matrizen bilden dann ebenfalls einen Untervektorraum des Matrizenraums mit Dimension . Der gesamte -dimensionale Raum lässt sich folglich als direkte Summe

der Räume der symmetrischen und der schiefsymmetrischen Matrizen schreiben.

Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Produkt zweier symmetrischer Matrizen ist im Allgemeinen nicht wieder symmetrisch. Das Produkt symmetrischer Matrizen ist genau dann symmetrisch, wenn und kommutieren, also wenn gilt, denn dann ergibt sich

.

Insbesondere sind damit für eine symmetrische Matrix auch alle ihre Potenzen mit und daher auch ihr Matrixexponential wieder symmetrisch. Für eine beliebige Matrix sind sowohl die -Matrix als auch die -Matrix stets symmetrisch.

Kongruenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Matrix , die kongruent zu einer symmetrischen Matrix ist, ist ebenfalls symmetrisch, denn es gilt

,

wobei die zugehörige Transformationsmatrix ist. Matrizen, die ähnlich zu einer symmetrischen Matrix sind, müssen jedoch nicht notwendigerweise ebenfalls symmetrisch sein.

Inverse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine symmetrische Matrix invertierbar, dann ist auch ihre Inverse wieder symmetrisch, denn es gilt

.

Für eine reguläre symmetrische Matrix sind demnach auch alle Potenzen mit wieder symmetrisch.

Reelle symmetrische Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Symmetrische Matrizen mit reellen Einträgen besitzen eine Reihe weiterer besonderer Eigenschaften.

Normalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine reelle symmetrische Matrix ist stets normal, denn es gilt

.

Jede reelle symmetrische Matrix kommutiert also mit ihrer Transponierten. Es gibt allerdings auch normale Matrizen, die nicht symmetrisch sind, beispielsweise schiefsymmetrische Matrizen.

Selbstadjungiertheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine reelle symmetrische Matrix ist stets selbstadjungiert, denn es gilt mit dem reellen Standardskalarprodukt

für alle Vektoren . Es gilt auch die Umkehrung und jede reelle selbstadjungierte Matrix ist symmetrisch. Aufgefasst als komplexe Matrix ist eine reelle symmetrische Matrix stets hermitesch, denn es gilt

,

wobei die adjungierte Matrix zu und die konjugierte Matrix zu ist. Damit sind reelle symmetrische Matrizen auch selbstadjungiert bezüglich des komplexen Standardskalarprodukts.

Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch eine reelle symmetrische (2×2)-Matrix wird der Einheitskreis (blau) in eine Ellipse (grün) transformiert. Die Halbachsen der Ellipse (rot) entsprechen den Beträgen der Eigenwerte der Matrix.

Die Eigenwerte einer reellen symmetrischen Matrix , das heißt die Lösungen der Eigenwertgleichung , sind stets reell. Ist nämlich ein komplexer Eigenwert von mit zugehörigem Eigenvektor , , dann gilt mit der komplexen Selbstadjungiertheit von

.

Nachdem für ist, muss gelten und der Eigenwert damit reell sein. Daraus folgt dann auch, dass der zugehörige Eigenvektor reell gewählt werden kann.

Vielfachheiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei jeder reellen symmetrischen Matrix stimmen die algebraischen und die geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte überein. Ist nämlich ein Eigenwert von mit geometrischer Vielfachheit , dann existiert eine Orthonormalbasis des Eigenraums von , welche durch zu einer Orthonormalbasis des Gesamtraums ergänzt werden kann. Mit der orthogonalen Basistransformationsmatrix ergibt sich damit die transformierte Matrix

als Blockdiagonalmatrix mit den Blöcken und . Für die Einträge von mit gilt nämlich mit der Selbstadjungiertheit von und der Orthonormalität der Basisvektoren

,

wobei das Kronecker-Delta darstellt. Da nach Voraussetzung keine Eigenvektoren zum Eigenwert von sind, kann kein Eigenwert von sein. Die Matrix besitzt daher nach der Determinantenformel für Blockmatrizen den Eigenwert genau mit algebraischer Vielfachheit und aufgrund der Ähnlichkeit der beiden Matrizen damit auch .[2]

Diagonalisierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachdem bei einer reellen symmetrischen Matrix algebraische und geometrische Vielfachheiten aller Eigenwerte übereinstimmen und da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stets linear unabhängig sind, kann aus Eigenvektoren von eine Basis des gebildet werden. Daher ist eine reelle symmetrische Matrix stets diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine reguläre Matrix und eine Diagonalmatrix , sodass

gilt. Die Matrix hat dabei die Eigenvektoren als Spalten und die Matrix hat die zu diesen Eigenvektoren jeweils zugehörigen Eigenwerte auf der Diagonalen. Durch eine Permutation der Eigenvektoren kann dabei die Reihenfolge der Diagonaleinträge von beliebig gewählt werden. Daher sind zwei reelle symmetrische Matrizen genau dann zueinander ähnlich, wenn sie die gleichen Eigenwerte besitzen. Weiterhin sind zwei reelle symmetrische Matrizen genau dann simultan diagonalisierbar, wenn sie kommutieren.

Orthogonale Diagonalisierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer symmetrischen Matrix stehen die Eigenvektoren (blau und violett) zu verschiedenen Eigenwerten (hier 3 und 1) senkrecht aufeinander. Durch Anwendung der Matrix werden blaue Vektoren um den Faktor drei gestreckt, während violette Vektoren ihre Länge beibehalten.

Die Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten einer reellen symmetrischen Matrix sind stets orthogonal. Es gilt nämlich wiederum mit der Selbstadjungiertheit von

.

Da und als verschieden angenommen wurden folgt daraus dann . Daher kann aus Eigenvektoren von eine Orthonormalbasis des gebildet werden. Damit ist eine reelle symmetrische Matrix sogar orthogonal diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine orthogonale Matrix , mit der

gilt. Diese Darstellung bildet die Grundlage für die Hauptachsentransformation und ist die einfachste Version des Spektralsatzes.

Kenngrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufgrund der Diagonalisierbarkeit einer reellen symmetrischen Matrix gilt für ihre Spur

und für ihre Determinante entsprechend

.

Der Rang einer reellen symmetrischen Matrix ist gleich der Anzahl der Eigenwerte ungleich Null, also mit dem Kronecker-Delta

.

Eine reelle symmetrische Matrix ist genau dann invertierbar wenn keiner ihrer Eigenwerte Null ist. Die Spektralnorm einer reellen symmetrischen Matrix ist

und damit gleich dem Spektralradius der Matrix. Die Frobeniusnorm ergibt sich aufgrund der Normalität entsprechend zu

.

Definitheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Definitheit

Ist eine reelle symmetrische Matrix, dann wird der Ausdruck

mit quadratische Form von genannt. Je nachdem ob größer als, größer gleich, kleiner als oder kleiner gleich null für alle ist, heißt die Matrix positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit oder negativ semidefinit. Kann sowohl positive, als auch negative Vorzeichen annehmen, so heißt indefinit. Die Definitheit einer reellen symmetrischen Matrix kann anhand der Vorzeichen ihrer Eigenwerte ermittelt werden. Sind alle Eigenwerte positiv, ist die Matrix positiv definit, sind sie alle negativ, ist die Matrix negativ definit und so weiter. Das Tripel bestehend aus den Anzahlen der positiven, negativen und Null-Eigenwerte einer reellen symmetrischen Matrix wird Signatur der Matrix genannt. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester bleibt die Signatur einer reellen symmetrischen Matrix unter Kongruenztransformationen erhalten.

Abschätzungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Satz von Courant-Fischer liefert der Rayleigh-Quotient Abschätzungen für den kleinsten und den größten Eigenwert einer reellen symmetrischen Matrix der Form

für alle mit . Gleichheit gilt dabei jeweils genau dann, wenn ein Eigenvektor zum jeweiligen Eigenwert ist. Der kleinste und der größte Eigenwert einer reellen symmetrischen Matrix kann demnach durch Minimierung beziehungsweise Maximierung des Rayleigh-Quotienten ermittelt werden. Eine weitere Möglichkeit zur Eigenwertabschätzung bieten die Gerschgorin-Kreise, die für reelle symmetrische Matrizen die Form von Intervallen haben.

Sind zwei reelle symmetrische Matrizen mit absteigend sortierten Eigenwerten und , dann gibt die Fan-Ungleichung die Abschätzung

.

Gleichheit ist hierbei genau dann erfüllt, wenn die Matrizen und simultan geordnet diagonalisierbar sind, das heißt, wenn eine orthogonale Matrix existiert, sodass und gelten. Die Fan-Ungleichung stellt eine Verschärfung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für das Frobenius-Skalarprodukt und eine Verallgemeinerung der Umordnungs-Ungleichung für Vektoren dar.[3]

Komplexe symmetrische Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zerlegung des komplexen Matrizenraums als direkte Summe der Räume symmetrischer und schiefsymmetrischer Matrizen

stellt eine orthogonale Summe bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts dar. Es gilt nämlich

für alle Matrizen und , woraus folgt. Die Orthogonalität der Zerlegung gilt entsprechend auch für den reellen Matrizenraum .

Spektrum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei komplexen Matrizen hat die Symmetrie keine besonderen Auswirkungen auf das Spektrum. Eine komplexe symmetrische Matrix kann auch nicht-reelle Eigenwerte besitzen. Beispielsweise hat die komplexe symmetrische Matrix

die beiden Eigenwerte . Es gibt auch komplexe symmetrische Matrizen, die nicht diagonalisierbar sind. Zum Beispiel besitzt die Matrix

den einzigen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit zwei und geometrischer Vielfachheit eins. Allgemein ist sogar jede komplexe quadratische Matrix ähnlich zu einer komplexen symmetrischen Matrix. Daher weist das Spektrum einer komplexen symmetrischen Matrix keinerlei Besonderheiten auf.[4] Das komplexe Gegenstück reeller symmetrischer Matrizen sind, was die mathematischen Eigenschaften betrifft, hermitesche Matrizen.

Faktorisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede komplexe symmetrische Matrix lässt sich durch die Autonne-Takagi-Faktorisierung

in eine unitäre Matrix , eine reelle Diagonalmatrix und die Transponierte von zerlegen. Die Einträge der Diagonalmatrix sind dabei die Singulärwerte von , also die Quadratwurzeln der Eigenwerte von .[5]

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Symmetrische Bilinearformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein -dimensionaler Vektorraum über dem Körper , dann lässt sich jede Bilinearform nach Wahl einer Basis für durch die Darstellungsmatrix

beschreiben. Ist die Bilinearform symmetrisch, gilt also für alle , dann ist auch die Darstellungsmatrix symmetrisch. Umgekehrt definiert jede symmetrische Matrix mittels

eine symmetrische Bilinearform . Ist eine reelle symmetrische Matrix zudem positiv definit, dann stellt ein Skalarprodukt im euklidischen Raum dar.

Selbstadjungierte Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein -dimensionaler reeller Skalarproduktraum, dann lässt sich jede lineare Abbildung nach Wahl einer Orthonormalbasis für durch die Abbildungsmatrix

darstellen, wobei für ist. Die Abbildungsmatrix ist nun genau dann symmetrisch, wenn die Abbildung selbstadjungiert ist. Dies folgt aus

,

wobei und sind.

Projektionen und Spiegelungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Orthogonale Zerlegungen werden durch symmetrische Matrizen beschrieben

Ist wieder ein -dimensionaler reeller Skalarproduktraum und ist ein -dimensionaler Untervektorraum von , wobei die Koordinatenvektoren einer Orthonormalbasis für sind, dann ist die Orthogonalprojektionsmatrix auf diesen Untervektorraum

als Summe symmetrischer Rang-Eins-Matrizen ebenfalls symmetrisch. Auch die Orthogonalprojektionsmatrix auf den Komplementärraum ist aufgrund der Darstellung stets symmetrisch. Mit Hilfe der Projektionsmatrizen und lässt sich jeder Vektor in zueinander orthogonale Vektoren und zerlegen. Auch die Spiegelungsmatrix an einem Untervektorraum ist stets symmetrisch.

Lineare Gleichungssysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Auffinden der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit symmetrischer Koeffizientenmatrix vereinfacht sich, wenn man die Symmetrie der Koeffizientenmatrix ausnutzt. Auf Grund der Symmetrie lässt sich die Koeffizientenmatrix als Produkt

mit einer unteren Dreiecksmatrix mit lauter Einsen auf der Diagonale und einer Diagonalmatrix schreiben. Diese Zerlegung wird beispielsweise bei der Cholesky-Zerlegung positiv definiter symmetrischer Matrizen verwendet, um die Lösung des Gleichungssystems zu berechnen. Beispiele moderner Verfahren zur numerischen Lösung großer linearer Gleichungssysteme mit dünnbesetzter symmetrischer Koeffizientenmatrix sind das CG-Verfahren und das MINRES-Verfahren.

Polarzerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede quadratische Matrix kann mittels der Polarzerlegung auch als Produkt

einer orthogonalen Matrix und einer positiv semidefiniten symmetrischen Matrix faktorisiert werden. Die Matrix ergibt sich dabei als die Quadratwurzel von . Ist regulär, so ist positiv definit und die Polarzerlegung eindeutig mit .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadriken können durch symmetrische Matrizen beschrieben werden

Eine Quadrik im -dimensionalen euklidischen Raum ist die Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in Variablen. Jede Quadrik kann somit als Punktmenge der Form

beschrieben werden, wobei mit eine symmetrische Matrix, und sind.

Analysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Charakterisierung der kritischen Punkte einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion kann mit Hilfe der Hesse-Matrix

vorgenommen werden. Nach dem Satz von Schwarz ist die Hesse-Matrix stets symmetrisch. Je nachdem ob positiv definit, negativ definit oder indefinit ist, liegt an der kritischen Stelle ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder ein Sattelpunkt vor.

Graphentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein ungerichteter kanten­gewichteter Graph besitzt stets eine symmetrische Adjazenzmatrix

Die Adjazenzmatrix eines ungerichteten kantengewichteten Graphen mit der Knotenmenge ist durch

  mit  

gegeben und damit ebenfalls stets symmetrisch. Auch von der Adjazenzmatrix durch Summation oder Potenzierung abgeleitete Matrizen, wie die Laplace-Matrix, die Erreichbarkeitsmatrix oder die Entfernungsmatrix, sind dann symmetrisch. Die Analyse solcher Matrizen ist Gegenstand der spektralen Graphentheorie.

Stochastik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Zufallsvektor bestehend aus reellen Zufallsvariablen mit endlicher Varianz, dann ist die zugehörige Kovarianzmatrix

die Matrix aller paarweisen Kovarianzen dieser Zufallsvariablen. Nachdem für gilt, ist eine Kovarianzmatrix stets symmetrisch.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger). 13. durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-97217-3.
  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, ISBN 0-521-46713-6.
  • Hans-Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 5. überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-42960-8.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Christoph W. Überhuber: Computer-Numerik. Band 2. Springer, 1995, S. 401 f.
  2. Howard Anton, Chris Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons, 2010, S. 404–405.
  3. Jonathan M. Borwein, Adrian S. Lewis: Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. Springer, 2010, ISBN 978-0-387-31256-9, S. 10.
  4. Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, S. 271.
  5. Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, S. 153.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]