Mittlere Krümmung

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In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum , einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die mittlere Krümmung neben der gaußschen Krümmung ein wichtiger Krümmungsbegriff.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien eine reguläre Fläche im und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen und . Das heißt die mittlere Krümmung ist definiert als

Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche bzw. gilt.

Allgemeiner kann man die mittlere Krümmung für n-dimensionale Hyperflächen des durch definieren. Dabei ist die Weingarten-Abbildung und bezeichnet die Spur einer Matrix.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sind , , bzw. , , die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform der Fläche, so gilt die Formel
Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, das heißt, wenn für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform und gilt, dann vereinfacht sich diese Formel zu
  • Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion über dem Parameterbereich , also für alle , so gilt für die mittlere Krümmung:
.
Hierbei bezeichnen und die ersten und , und die zweiten partiellen Ableitungen von .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Oberfläche einer Kugel mit Radius hat die mittlere Krümmung .
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius ist die mittlere Krümmung gleich

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für eine Fläche gilt die Gleichung
mit der Einheitsnormale , als erster Fundamentalform und der kovarianten Ableitung.
  • Wenn eine Fläche isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem
  • Ist die Fläche als Niveaufläche einer Funktion gegeben, so gilt
Dabei ist die Divergenz und das Einheitsnormalenfeld Diese Formel heißt Formel von Bonnet und gilt allgemein für n-dimensionale Hyperflächen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]