Gaußsche Krümmung

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In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die gaußsche Krümmung (das gaußsche Krümmungsmaß), benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der wichtigste Krümmungsbegriff neben der mittleren Krümmung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien eine reguläre Fläche im und ein Punkt dieser Fläche. Die gaußsche Krümmung der Fläche in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen und .

Dabei sind und die beiden Hauptkrümmungsradien.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius ist die gaußsche Krümmung gegeben durch .
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders ist die gaußsche Krümmung gleich 0.
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiskegels ist die gaußsche Krümmung gleich 0.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sind , , bzw. , , die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform, so gilt folgende Formel:
  • Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion über dem Parameterbereich , also für alle , so gilt für die gaußsche Krümmung:
Hierbei bezeichnen und die ersten und , und die zweiten partiellen Ableitungen von .
  • Ist die Fläche als Nullstellenmenge einer Funktion mit regulärem Wert gegeben, dann berechnet sich die Gaußsche Krümmung aus der Formel[1]
Dabei ist der Betrag des Gradienten und die Adjunkte der Hesse-Matrix von .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorzeichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In elliptischen Punkten ist die gaußsche Krümmung positiv (), in hyperbolischen Punkten negativ () und in parabolischen Punkten oder Flachpunkten verschwindet sie.

Eigenschaft der inneren Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Fläche ab (siehe Theorema egregium von C. F. Gauß). Dieser Satz ist ein Korollar aus der Formel von Brioschi:

Dabei sind , und die Koeffizienten der ersten Fundamentalform. Die Bezeichnungen , usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern und , mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Gleichung ist unter anderem eine der notwendigen Integrationsbedingungen der Gauß-Weingarten-Gleichungen.

Eine weitere Formel zur Berechnung der gaußschen Krümmung lautet:

Im Falle einer orthogonalen Parametrisierung () reduziert sich diese Formel auf

Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, d. h., es gilt und , dann schreibt sich

mit dem Laplaceoperator

.

Totalkrümmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Innenwinkelsumme eines Flächendreiecks auf einer negativ gekrümmten Fläche ist kleiner als 180°.

Das Oberflächenintegral

der Gaußschen Krümmung über eine Teilmenge einer Fläche bezeichnet man als deren Totalkrümmung. Bei Vielecken, deren Kanten Geodätische sind, besteht ein Zusammenhang zwischen der Totalkrümmung und der Innenwinkelsumme. Beispielsweise gilt für die Innenwinkelsumme eines geodätischen Dreiecks:

Die Totalkrümmung eines geodätischen Dreiecks entspricht also der Abweichung der Innenwinkelsumme von π: Die Innenwinkelsumme eines sich auf einer positiv gekrümmten Fläche befindenden Dreiecks überschreitet π, auf einer negativ gekrümmten Fläche liegt die Innenwinkelsumme unterhalb von π. Beträgt die Gaußkrümmung null, so beträgt die Innenwinkelsumme wie im ebenen Fall exakt π.

Eine Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes ist der Satz von Gauß-Bonnet, der einen Zusammenhang zwischen der Gaußschen Krümmung einer Fläche und der geodätischen Krümmung der zugehörigen Randkurve beschreibt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Michael Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry. 3. Auflage. Volume 3. Publish or Perish, Houston, Texas 1999, ISBN 0-914098-72-1, Chapter 3. A compendium of surfaces.