Gaußsche Krümmung

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In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (\mathbb{R}^3), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die gaußsche Krümmung (das gaußsche Krümmungsmaß), benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der wichtigste Krümmungsbegriff neben der mittleren Krümmung.

Definition[Bearbeiten]

Gegeben seien eine reguläre Fläche im \mathbb{R}^3 und ein Punkt dieser Fläche. Die gaußsche Krümmung K der Fläche in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen k_1 und k_2.

K \, = \, k_1 \cdot k_2 = \frac{1}{r_1} \cdot \frac{1}{r_2}

Dabei sind r_1 und r_2 die beiden Hauptkrümmungsradien.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius r ist die gaußsche Krümmung gegeben durch K = 1 /r^2.
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders ist die gaußsche Krümmung gleich 0.
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiskegels ist die gaußsche Krümmung gleich 0.
  • Ist X = X(u,v) = (u,v,f(u,v)) ein Graph über der (u,v)−Ebene, so berechnet sich die gaußsche Krümmung durch die Formel
K = \frac{f_{uu} f_{vv} - f_{uv}^2}{{(1+f_u^2+f_v^2)}^{2}},

wobei die Indizes partielle Ableitungen bezeichnen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • In elliptischen Punkten ist die gaußsche Krümmung positiv (K > 0), in hyperbolischen Punkten negativ (K < 0) und in parabolischen Punkten oder Flachpunkten verschwindet sie.
K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}
  • Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Fläche ab (siehe Theorema egregium von C. F. Gauß). Dieser Satz ist ein Korollar aus der:
  • Formel von Brioschi:
K = \frac{1}{(EG-F^2)^2} \left(
\begin{vmatrix}
-\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\
F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\
\frac{1}{2}G_v & F & G
\end{vmatrix}
- \begin{vmatrix}
0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\
\frac{1}{2}E_v & E & F\\
\frac{1}{2}G_u & F & G
\end{vmatrix}
\right)
Dabei sind E, F und G die Koeffizienten der ersten Fundamentalform. Die Bezeichnungen E_u, F_{uv} usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern u und v, mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Gleichung ist unter anderem eine der notwendigen Integrationsbedingungen der Gauß-Weingarten-Gleichungen.
  • Eine weitere Formel zur Berechnung der gaußschen Krümmung lautet:
K = -\frac{1}{2\sqrt{EG-F^2}}\left(
\left(\frac{E_v-F_u}{\sqrt{EG-F^2}}\right)_v
+\left(\frac{G_u-F_v}{\sqrt{EG-F^2}}\right)_u\right)
-\frac{1}{4 \left(EG-F^2\right)^2}\begin{vmatrix}
 E & E_u & E_v \\
 F & F_u & F_v \\
 G & G_u & G_v
\end{vmatrix}
  • Im Falle einer orthogonalen Parametrisierung (F=0) reduziert sich diese Formel auf
K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(
\left(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)_v
+\left(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\right)_u
\right)
  • Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, d.h. es gilt 0<E=G und F=0, dann schreibt sich
 K = -\frac{1}{2E} \Delta \log E
mit dem Laplaceoperator
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}.

 K=\frac{{\nabla f}^T\cdot\operatorname{adj}(H_f)\cdot\nabla f}{|\nabla f|^4}.
Dabei ist |\nabla f| der Betrag des Gradienten und \operatorname{adj}(H_f) die Adjunkte der Hesse-Matrix von f.

Literatur[Bearbeiten]

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Michael Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry. 3. Auflage. Volume 3, Publish or Perish, Houston, Texas 1999, ISBN 0-914098-72-1, Chapter 3. A compendium of surfaces, LCCN 2002-283516.