Weingartenabbildung

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Die Weingartenabbildung (nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten), auch Formoperator genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (), einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie.

Vorbereitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine reguläre Fläche sei durch die Parameterdarstellung

gegeben. Dabei sei mindestens zweimal stetig differenzierbar und in jedem Punkt habe die Ableitung , eine lineare Abbildung von nach , vollen Rang. Das Bild dieser linearen Abbildung ist dann ein zweidimensionaler Unterraum des , der Tangentialraum der Fläche im Punkt . Dabei denkt man sich die Bildvektoren im Punkt angeheftet. Der Tangentialraum wird von den beiden Vektoren

und

aufgespannt. (Hierbei bezeichnen und die Einheitsvektoren der Standardbasis des .)

Die Einheitsnormale im Punkt der Fläche kann mit Hilfe des Vektorprodukts berechnet werden:

Somit ist eine differenzierbare Abbildung vom Parameterbereich in den Vektorraum . Den Bildvektor denkt man sich angeheftet an den Punkt . Die Ableitung im Punkt ist eine lineare Abbildung von nach . Aus der Bedingung, dass ein Einheitsvektor ist, folgt, dass für jedes Parameterpaar das Bild der Abbildung im Tangentialraum der Fläche im Punkt liegt und somit im Bild der Abbildung . Da injektiv ist, existiert die Umkehrabbildung als Abbildung auf dem Tangentialraum im Punkt .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann nun die Weingartenabbildung als lineare Abbildung im Parameterbereich (klassische Sichtweise) oder auf dem Tangentialraum (moderne Sichtweise) definieren.

Im Parameterbereich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Abbildung bildet den auf den Tangentialraum der Fläche im Punkt ab. Die Abbildung bildet diesen Tangentialraum wieder auf den ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

von nach heißt Weingartenabbildung an der Stelle .

Auf der Fläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Abbildung bildet einen Vektor des Tangentialraums der Fläche im Punkt in den ab. Die Abbildung bildet den Bildvektor wieder in den Tangentialraum ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

bildet den Tangentialraum im Punkt auf sich ab und heißt Weingartenabbildung am Punkt . Es gilt also

für .

Koordinatendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die beiden Versionen der Weingartenabbildung sind auf völlig verschiedenen Vektorräumen definiert. Wählt man jedoch im Parameterbereich die Standardbasis und im Tangentialraum die Basis , , so stimmen die zugehörigen Abbildungsmatrizen

überein. Sie sind durch die Gleichungen

charakterisiert. In Einsteinscher Summenkonvention, mit , , , und unter Weglassung des Arguments:

Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jedes Parameterpaar ist die erste Fundamentalform ein Skalarprodukt im und die zweite Fundamentalform eine symmetrische Bilinearform. Diese sind durch die Weingartenabbildung wie folgt verbunden: Für Vektoren gilt

.

Für die zugehörigen Matrixdarstellungen gilt in Einsteinscher Summenkonvention

und

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hauptkrümmungen sind Eigenwerte der Weingartenabbildung
  • Die Weingartenabbildung ist selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform , das heißt, für alle gilt

    In jedem Punkt der Fläche existiert deshalb eine Basis aus Eigenvektoren von , die orthonormal bezüglich ist.
  • Die Richtungen der Eigenvektoren heißen Hauptkrümmungsrichtungen.
  • Die Eigenwerte der Weingartenabbildung geben die Hauptkrümmungen der Fläche an.
  • Für einen Vektor beschreibt die Änderung der Flächennormalen in dieser Richtung an diesem Punkt.
  • Die Weingartenabbildung ist die Ableitung der Gauß-Abbildung.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dem Beispiel aus den Artikeln erste Fundamentalform und zweite Fundamentalform folgend, wird wieder die Oberfläche einer Kugel vom Radius betrachtet. Diese Fläche wird wieder durch

parametrisiert.

Die Matrixdarstellung der ersten Fundamentalform besteht aus den Komponenten , , sowie .

Die Matrixdarstellung der zweiten Fundamentalform besteht aus den Komponenten , , sowie .

Beide sind durch die Gleichung miteinander verbunden. Diese liefert durch Ausschreiben der Einsteinschen Summenkonvention folgende vier Gleichungen:

Durch Einsetzen der Komponenten der Matrixdarstellungen erhält man die Komponenten der Weingartenabbildung:

Alternativ hätte auch die explizite Formel genutzt werden können. Dazu hätte allerdings die Matrix der ersten Fundamentalform invertiert werden müssen, um die zu erhalten.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]