Modifizierte diskrete Kosinustransformation

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Die modifizierte diskrete Kosinustransformation (englisch modified discrete cosine transform, kurz: MDCT) ist eine reellwertige, diskrete, lineare, orthogonale Transformation, die zu der Gruppe der diskreten Fouriertransformationen (DFT) zählt und eine Modifikation der namensgebenden diskreten Kosinustransformation (DCT) ist.

Die MDCT wurde in den Jahren 1986, 1987 von John P. Princen, A. W. Johnson und Alan B. Bradley entwickelt [1][2].

Die MDCT ist die zentrale Transformation der Audiodatenkompressionsverfahren Advanced Audio Coding (AAC), Dolby Digital (AC-3), Ogg Vorbis, aber auch MPEG Audio Layer 3 (MP3), Opus und ATRAC benutzen u. a. die MDCT als Spektraltransformation. Daneben existiert die ähnlich aufgebaute modifizierte diskrete Sinustransformation (MDST), die auf der diskreten Sinustransformation basiert, die aber im Bereich der digitalen Signalverarbeitung keine wesentliche Bedeutung hat.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die MDCT basiert auf dem Typ IV der diskreten Kosinustransformation, auch als DCT-IV bezeichnet, und verwendet am Anfang der zu transformierenden Eingangssignalfolge, beispielsweise ist dies eine endliche Anzahl von Abtastwerten eines Audiosignals, eine gerade Fortsetzung und am Ende der Signalfolge eine ungerade Fortsetzung. Das Eingangssignal wird in aufeinander folgende Blöcke unterteilt, wobei jeder Block getrennt der Transformation unterworfen wird. Bei der MDCT werden die Signalfolgen zur Bildung der einzelnen Blöcke teilweise miteinander überlappt, um die geraden bzw. ungeraden Fortsetzungen der Blockbildung zu kompensieren. In der meist englischsprachigen Fachliteratur wird dies als time-domain aliasing cancellation (TDAC) bezeichnet. Ähnliche Verfahren finden im Rahmen der DFT beim Overlap-Add-Verfahren und dem Overlap-Save-Verfahren Anwendung, um die dort periodische Fortsetzung der DFT in die aperiodische Faltungsoperation zu überführen.

Die MDCT vermeidet das, was wir bei der DCT der JPEG-Kompression als Blockartefakte kennen: Sprünge zwischen Abtastwerten benachbarter Transformationsblöcken. Das Gehör reagiert auf diese Form von Störungen noch wesentlich empfindlicher als unser Auge, so dass man ein Verfahren finden muss, um zwischen benachbarten Blöcken nicht schlagartig, sondern allmählich zu wechseln. Das erfolgt durch eine Vergrößerung der in eine Transformation eingehenden Abtastwerte unter Verwendung einer Fensterfunktion. Dabei hat man aber das Problem, dass damit normalerweise die Datenmenge vergrößert würde, da Abtastwerte in Berechnungen mehrfach eingehen würden und redundant abgespeichert würden. Dieses Problem umgeht die MDCT sehr geschickt, indem zwar Abtastwerte als Ausgangswerte in die Transformation eingehen, aber nur Spektralwerte entstehen. Normalerweise wäre so eine Transformation schon hochgradig verlustbehaftet, allerdings löschen sich diese Fehler bei der Rücktransformation und beim Addieren von benachbarten rücktransformierten Blöcken unter gewissen Bedingungen genau wieder auf.

So hat man die Möglichkeit, eine Spektraltransformation mit Fensterfunktion durchzuführen, ohne dass sich die Anzahl der Werte vergrößert. Diese Fensterfunktion führt zu einer besseren Spektralauflösung bei der MDCT und zu weniger Artefakten bei der IMDCT.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die Überlappung ist bei der MDCT und im Unterschied zu symmetrischen Frequenztransformationen die Menge der Eingangssamples aus dem Zeitbereich doppelt so groß wie die daraus gebildeten spektralen Ausgangsdaten. Formal werden bei der Transformation reelle Zahlen auf reelle Zahlen nach folgender Beziehung abgebildet:

mit

In der Literatur werden manchmal, in nicht einheitlicher Form und zur Normierung, in dieser Beziehung zusätzliche konstante Faktoren eingebracht, welche aber die Transformation nicht grundsätzlich verändern.

Inverse Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die inverse MDCT, abgekürzt IMDCT, stellt die Umkehrung zur obigen Transformation dar. Da die Eingangs- bzw. Ausgangsfolge eine unterschiedliche Anzahl umfassen, ist zur Umkehrung eine Addition im Zeitbereich der aufeinander folgenden Blöcke und der zeitlich überlappenden Bereiche im Rahmen der time-domain aliasing cancellation (TDAC) nötig.

Formal werden bei der IMDCT reelle Zahlen in reelle Zahlen übergeführt:

mit

Wie bei der DCT-IV, als eine Form von orthogonaler Transformation, ist die Rücktransformation bis auf einen Faktor identisch zu der Vorwärtstransformation.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die MDCT ist die Basisoperation moderner Audiokompressionsverfahren. Dazu wird das Eingangssignal in sich zur Hälfte überlappende Blöcke der Länge geteilt, die jeweils vom Abtastwert reichen.

Die Transformation wird blockweise jeweils für jeden Block unter Verwendung einer Fensterfunktion (die gewisse Eigenschaften haben muss) durchgeführt:

mit

Die Rücktransformation erfolgt für ein Sample mit und

MDCT Fensterfunktionen:
blau: Kosinus, rot: Sinus-Kosinus, grün: modifizierte Kaiser-Bessel
Leakage der MDCT Fensterfunktionen:
blau: Kosinus, rot: Sinus-Kosinus, grün: modifizierte Kaiser-Bessel

Die Fenster-Funktion muss folgende Eigenschaften haben:

  • Für die Analyse wie die Synthese eines Blocks ist die gleiche Funktion zu verwenden. Sonst funktioniert das TDAC nicht.
  • Für jeden Abtastwert wird die Fensterfunktion sowohl bei der Analyse wie bei der Synthese je 2 mal angewendet. Diese beiden Werte müssen O. B. d. A. die Gleichung erfüllen. Die Bedingung nennt sich Princen-Bradley-Bedingung.
  • sollte eine möglich glatte Funktion sein, um den Leck-Effekt gering zu halten, der
    • bei der Analyse die Konzentration dominierender Signalkomponenten verringern würde und
    • bei der Synthese Störsignale entfernt von dominierenden Signalkomponenten erzeugen würde (DC-Anteile würden z. B. ein Knattern erzeugen).

Durch die zweite Bedingung unterscheidet sich die Fensterfunktion erheblich von den normalerweise üblichen Fensterfunktionen. Im Wesentlichen finden folgende drei Fensterfunktionen Anwendung:

  • Kosinusfenster
  • modifizierte Kaiser-Bessel-Fenster
  • Sinus-Kosinus-Fenster

Berechnungsaufwand[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die direkte Berechnung der MDCT nach obiger Formel benötigt O(N2) Operationen. Ähnlich wie bei der schnellen Fourier-Transformation (FFT), als eine Form der effizienten Berechnung der DFT, existieren auch bei der MDCT-Algorithmen die ähnlich wie der Radix-2-Algorithmus aufgebaut sind, um die Anzahl der Rechenoperationen auf O(N log N) zu reduzieren.

Zudem lässt sich die MDCT mittels Pre- und Postprocessing und einer FFT berechnen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Henrique S. Malvar: Signal Processing with Lapped Transforms. Artech House, 1992, ISBN 0-89006-467-9.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. John P. Princen, Alan B. Bradley: Analysis/Synthesis filter bank design based on time domain aliasing cancellation. In: IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. Band 34, Nr. 5, Oktober 1986, S. 1153–1161, doi:10.1109/TASSP.1986.1164954.
  2. J. Princen, A. Johnson, A. Bradley: Subband/Transform coding using filter bank designs based on time domain aliasing cancellation. In: Acoustics, Speech, and Signal Processing, IEEE International Conference on ICASSP ’87. Band 12, 1987, S. 2161–2164, doi:10.1109/ICASSP.1987.1169405 (Erstmalige Erwähnung des Begriffes MDCT).