Obstruktionstheorie

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In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, beschreibt die Obstruktionstheorie oder Hindernistheorie die Hindernisse für die Existenz von Schnitten in Faserbündeln.

Obstruktionskozykel[Bearbeiten]

Sei p: E\to B eine Faserung über einem Simplizialkomplex B mit Faser F. Wir nehmen an, dass bereits ein Schnitt s_n:B_n\rightarrow E über dem n-Skelett von B konstruiert wurde und fragen, ob sich dieser Schnitt auf das (n+1)-Skelett fortsetzen lässt.

Für jeden (n+1)-Simplex \sigma\in B_{n+1} ist p^{-1}(\sigma) homotopie-äquivalent zu F und die Abbildung

s_n\mid_{\partial\sigma}:S^n\simeq \partial\sigma\to p^{-1}(\sigma)\simeq F

definiert ein Element der n-ten Homotopiegruppe der Faser

o_{n+1}(\sigma)\in\pi_n(F).

Offensichtlich kann der gegebene Schnitt s_n\mid_{\partial\sigma}:\partial\sigma\to E nur dann auf \sigma fortgesetzt werden, wenn

o_{n+1}(\sigma)=0\in\pi_n(F).

Man kann zeigen, dass o_{n+1}:C_{n+1}(B)\to\pi_n(F) ein Kozykel mit lokalen Koeffizienten ist, er wird als Obstruktionskozykel bezeichnet. Seine Kohomologieklasse (in der Kohomologie mit lokalen Koeffizienten)

o_{n+1}\in H^{n+1}(B,\pi_n(F))

heißt (n+1)-te Obstruktionsklasse. Sie hängt zwar vom gewählten Schnitt s_n ab, man kann aber zeigen, dass sie tatsächlich nur von seiner Einschränkung auf das (n-1)-Skelett abhängig ist.

Schnitte in Vektorbündeln[Bearbeiten]

Die wichtigste Anwendung der Obstruktionstheorie ist auf die Frage nach der Existenz von k linear unabhängigen Schnitten in einem Vektorbündel vom Rang n, für 1\le k\le n, oder äquivalent nach der Existenz eines Schnittes im k-Rahmenbündel

V_k(\R^n)\to V_k(E)\to B,

dessen Faser die Stiefel-Mannigfaltigkeit V_k(\R^n) ist.

Wegen \pi_i(V_k(\R^n))=0 für 0\le i\le n-k-1 kann man einen solchen Schnitt auf dem (n-k)-Skelett B_{n-k} konstruieren, das Hindernis für die Fortsetzung auf das (n-k+1)-Skelett ist dann die oben definierte Obstruktionsklasse

o_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\pi_{n-k}(V_k(\R^n))).

Stiefel-Whitney-Klassen[Bearbeiten]

Die Stiefel-Whitney-Klassen wurden von Stiefel und Whitney ursprünglich als Obstruktionsklassen definiert. Die Homotopiegruppe \pi_{n-k}(V_k(\R^n)) ist entweder isomorph zu \Z/2\Z (falls k>1 und n-k+1 gerade ist) oder sonst unendlich zyklisch, kann also in jedem Fall surjektiv auf \Z/2\Z abgebildet werden. Das Bild der Obstruktionsklasse unter dieser Abbildung ist die Stiefel-Whitney-Klasse

w_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\Z/2\Z).

Euler-Klasse[Bearbeiten]

Für k=1 ist \pi_{n-k}(V_k(\R^n))=\pi_{n-1}(V_1(\R^n))=\pi_{n-1}(S^n)=\Z, für orientierbare Vektorbündel ist die Kohomologie mit lokalen Koeffizienten H^n(B,\pi_{n-1}(V_1(\R^n))) isomorph zu H^n(B,\Z) und die so definierte Obstruktionsklasse ist die Euler-Klasse

e(E)\in H^n(B,\Z).

Analog kann man die Euler-Klasse für beliebige Sphärenbündel, also für Faserbündel mit Faser S^{n-1} definieren: wegen \pi_i(S^{n-1})=0 für 0<i<n-1 gibt es einen Schnitt auf dem (n-1)-Skelett der Basis und die Obstruktion für die Fortsetzung auf das n-Skelett ist die Euler-Klasse

e(E)\in H^n(B,\Z).

(Im Falle des Einheitssphärenbündels eines orientierten Vektorbündels stimmt die Euler-Klasse des Sphärenbündels mit der Euler-Klasse des Vektorbündels überein.)

Literatur[Bearbeiten]

  • Steenrod, Norman: The Topology of Fibre Bundles. Princeton Mathematical Series, vol. 14. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1951 (Kapitel 25, 35, 38)
  • Milnor, John W.; Stasheff, James D.: Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. (Kapitel 12)
  • Whitehead, George W.: Elements of Homotopy Theory. Graduate Texts in Mathematics 61. Springer Verlag, 1978. ISBN 978-1-4612-6320-3 (Print) 978-1-4612-6318-0 (Online).