Stiefel-Mannigfaltigkeit

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In der Mathematik parametrisieren Stiefel-Mannigfaltigkeiten, benannt nach Eduard Stiefel, die Orthonormalbasen der Unterräume eines Vektorraumes.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei oder der (Schief-)Körper der reellen, komplexen oder quaternionischen Zahlen und sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Sei .

Dann ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit definiert als Menge aller -Tupel orthonormaler Vektoren.

Die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit wird definiert als Menge der -Tupel linear unabhängiger Vektoren. Die Inklusion von in die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine Homotopieäquivalenz.

Wirkung der linearen Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gruppe wirkt transitiv auf der nichtkompakten Stiefel-Mannigfaltigkeit mit Stabilisator , man erhält also eine Bijektion mit

.

Auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit wirken sogar die orthogonalen bzw. unitären Gruppen bereits transitiv und man erhält Bijektionen

Topologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man benutzt die obigen Bijektionen, um auf eine Topologie zu definieren, mit der die Bijektion zu einem Homöomorphismus wird. Mit dieser Topologie werden die zu Mannigfaltigkeiten der folgenden Dimensionen:

Äquivalent kann man die Topologie auch definieren durch die kanonische Identifizierung von mit einem Unterraum von .

Prinzipalbündel über der Graßmann-Mannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit ist die Menge der -dimensionalen Untervektorräume des .

Jedem -Tupel linear unabhängiger Vektoren kann man den von ihm erzeugten Untervektorraum zuordnen, auf diese Weise definiert man eine Projektion

.

Die so definierten Projektionen sind Prinzipalbündel

Stiefel-Mannigfaltigkeiten in der diskreten Mathematik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Graph-Homomorphismen-Komplex ist homöomorph zur Stiefel-Mannigfaltigkeit (Csorba-Vermutung, bewiesen von Schultz).[1]

Belege[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Small models of graph colouring manifolds and the Stiefel manifold Hom(C5,Kn) pdf