Euler-Klasse

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In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie und in der Differentialgeometrie und -topologie, ist die Euler-Klasse ein spezieller Typ von charakteristischen Klassen, die orientierbaren reellen Vektorbündeln zugeordnet wird. Sie wird nach Leonhard Euler benannt, weil sie im Fall des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit deren Euler-Charakteristik bestimmt.

Sie kann auf unterschiedliche (äquivalente) Weisen definiert werden: als Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen, als Pull-Back der Orientierungsklasse unter einem Schnitt oder als Bild der Pfaffschen Determinante unter dem Chern-Weil-Isomorphismus. Im Fall flacher Bündel gibt es weitere äquivalente Definitionen.

Grundidee und Motivation[Bearbeiten]

Die Euler-Klasse ist eine charakteristische Klasse, also eine topologische Invariante von orientierten Vektorbündeln: zwei isomorphe orientierte Vektorbündel haben dieselben Euler-Klassen. Im Falle differenzierbarer Mannigfaltigkeiten bestimmt die Euler-Klasse des Tangentialbündels die Euler-Charakteristik der Mannigfaltigkeit.

Die Euler-Klasse liefert ein Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen. Insbesondere liefert die Euler-Charakteristik einer geschlossenen, orientierbaren, differenzierbaren Mannigfaltigkeit ein Hindernis für die Existenz eines Vektorfeldes ohne Singularitäten.

Für einen auf einer Teilmenge des Basis-Raumes definierten nullstellenfreien Schnitt kann man eine relative Euler-Klasse definieren, diese liefert ein Hindernis für die Fortsetzbarkeit des Schnittes ohne Nullstellen auf die gesamte Basis.

Axiome[Bearbeiten]

Die (relative) Euler-Klasse wird durch folgende Axiome festgelegt.

Jedem orientierten, n-dimensionalen reellen Vektorbündel E\to X mit einem nirgendwo verschwindenden Schnitt s\colon Y\to E auf einer (möglicherweise leeren) Teilmenge Y\subset X wird ein Element

e(E,s)\in H^n(X,Y;\Z)

(bzw. e(E)\in H^n(X;\Z) falls Y=\emptyset) zugeordnet, so dass

  • für jede stetige Abbildung f\colon (X^\prime,Y^\prime)\to(X,Y) gilt e(f^*E,f^*s)=f^*(e(E,s))
  • e(E_1\oplus E_2, s\oplus 0)=e(E_1,s)\cup e(E_2)
  • für das tautologische komplexe Linienbündel \gamma^1\to\C P^1, aufgefasst als 2-dimensionales reelles Vektorbündel, ist e(\gamma^1)\in H^2(\C P^1;\Z) ein Erzeuger von H^2(\C P^1;\Z)\simeq \Z.

e(E)\in H^n(X;\Z) heißt die Euler-Klasse des Bündels E, e(E,s)\in H^n(X,Y;\Z) heißt die relative Euler-Klasse relativ zum Schnitt s.

Definition als Obstruktionsklasse[Bearbeiten]

Für ein n-dimensionales orientiertes Vektorbündel E\to\vert K\vert über der geometrischen Realisierung \vert K\vert eines Simplizialkomplexes K erhält man mittels Obstruktionstheorie die Obstruktionsklasse

o_n(E)\in H^n(K;\pi_{n-1}(V_1(\R^n))

für die Fortsetzung eines Schnittes im assoziierten Vektorbündel auf das n-Skelett von K.

Die Koeffizientengruppe

\pi_{n-1}(V_1(\R^n))\simeq \pi_{n-1}(\R^n-0)\simeq H_{n-1}(\R^n-0;\Z)\simeq H_n(\R^n,\R^n-0;\Z)

ist (durch die Orientierung) kanonisch isomorph zu \Z und dieser Isomorphismus bildet o_n(E) auf die Euler-Klasse e(E)\in H^n(K;\Z) ab.[1]

Definition mittels Orientierungsklasse[Bearbeiten]

Für ein orientiertes n-dimensionales Vektorbündel p\colon E\to M und E_0\subset E das Komplement des Null-Schnitts betrachten wir das Bild u\mid_E der Orientierungsklasse (Thom-Klasse)

u\in H^{n}(E,E_0;\Z)

in H^n(E;\Z). Weil \R^n kontrahierbar ist, ist p\colon E\to M eine Homotopieäquivalenz und

p^*\colon H^*(M;\Z)\to H^*(E;\Z)

ein Isomorphismus. Die Euler-Klasse ist definiert durch

e(E):=(p^*)^{-1}u\mid_E\in H^n(M;\Z).

Äquivalent kann man e(E) durch

e(E):=s^*u\mid_E

für einen beliebigen Schnitt (zum Beispiel den Nullschnitt) s\colon M\to E definieren.

Falls E\to M einen Schnitt ohne Nullstellen hat, also s(M)\subset E_0 gilt, folgt daraus e(E)=0.

Relative Euler-Klasse: Falls ein Schnitt ohne Nullstellen s_0\colon Y\to E auf einer Teilmenge Y\subset M gegeben ist, dann kann man ihn zu einem Schnitt (evtl. mit Nullstellen) s\colon (M,Y)\to (E,E_0) fortsetzen und definiert dann

e(E,s_0):=s^*u\in H^n(M,Y;\Z).

Definition über Chern-Weil-Theorie[Bearbeiten]

Wir betrachten Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M. Die Konstruktion mittels Chern-Weil-Theorie liefert (nur) das Bild der Euler-Klasse in H^*(M;\R) bzw. der relativen Euler-Klasse in H^*(M,Y;\R), insbesondere liefert sie die Nullklasse für Vektorbündel ungerader Dimension.

Für ein orientiertes Vektorbündel der Dimension n=2k betrachtet man das assoziierte SO(2k)-Prinzipalbündel (das Rahmenbündel) P\to M.

Für ein SO(2k)-Prinzipalbündel P\to M mit einer Zusammenhangsform \omega\in\Omega^1(P,so(2k)) ist die Euler-Klasse e(P)\in H^{2k}_{dR}(M)\simeq H^{2k}(M;\R) das Bild der durch

Pf(A,\ldots,A)=\frac{1}{2^k k!}\sum_{\sigma\in S_{2k}} sign(\sigma)a_{\sigma(1)\sigma(2)}\ldots a_{\sigma(2k-1)\sigma(2k)}

definierten Pfaffschen Determinante Pf\in I^n(so(2k)) unter dem Chern-Weil-Homomorphismus

I^k(so(2k))\to H^{2k}_{dR}(M),

also die von der mit Hilfe der Krümmungsform \Omega\in \Omega^2(M) des Prinzipalbündels definierten Differentialform

\frac{1}{2^k\pi^{2k}}Pf(\Omega)(X_1,\dots,X_{2k}):=\frac{1}{(2\pi)^{2k}}\frac{1}{(k)!}\sum_{\sigma\in\mathfrak S_{2k}}\operatorname{sign}(\sigma) Pf(\Omega(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)}),\dots,\Omega(X_{\sigma(2k-1)}, X_{\sigma(2k)}))

repräsentierte de-Rham-Kohomologie-Klasse. Man kann zeigen, dass die Euler-Klasse nicht von der Wahl der Zusammenhangsform \Omega abhängt und dass sie im Bild von H^{2k}(M;\Z) liegt.

Die Übereinstimmung der so definierten Euler-Klasse mit der oben topologisch definierten ist der Inhalt des 1945 von Chern (und für Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raumes bereits 1940 von Allendorfer und Weil) bewiesenen verallgemeinerten Satzes von Gauß-Bonnet.[2]

Relative Euler-Klasse[3]: Es sei s\colon Y\to E ein Schnitt ohne Nullstellen über einer Untermannigfaltigkeit Y\subset M. (Wir nehmen an, dass sich der Schnitt auf eine offene Umgebung von Y fortsetzen lässt.) Dann gibt es eine Zusammenhangsform \omega, deren Krümmungsform Pf(\Omega)\mid_Y\equiv 0 erfüllt. Insbesondere definiert Pf(\Omega) eine relative Kohomologieklasse e(E,s)\in H^{2k}(M,Y;\Z).

Euler-Klasse von SL(n,R)-Prinzipalbündeln[Bearbeiten]

Unter den Isomorphismen

I^k(so(2k))\simeq H^{2k}(BSO(2k))\simeq H^{2k}(BSL(2k,\R))

entspricht die Pfaffsche Determinante einer Kohomologieklasse e(\gamma^{2k}) in der Kohomologie des klassifizierenden Raumes BSL(2k,\R), der Euler-Klasse des universellen Bündels \gamma^{2k}\to BSL(2k,\R). Zu jedem SL(2k,\R)-Bündel P\to M kann man also mittels der klassifizierenden Abbildung f\colon M\to BSL(2k,\R) die Euler-Klasse

e(P):=f^*(e(\gamma^{2k}))\in H^{2k}(M)

definieren. Diese stimmt mit der Euler-Klasse des assoziierten Vektorbündels überein.

Euler-Klasse von Sphärenbündeln[Bearbeiten]

Die Euler-Klasse kann für beliebige Sphärenbündel definiert werden[4], im Fall des Einheitssphärenbündels eines Riemannschen Vektorbündels erhält man die oben definierte Euler-Klasse des Vektorbündels.

Eigenschaften[Bearbeiten]

\ldots \to H^i(B;\Z)\to H^{i+n}(B)\to H^{i+n}(E_0)\to H^{i+1}(B)\to\ldots,
wobei die anderen beiden Abbildungen \pi\vert_{E_0}^* und die Integration entlang der Faser sind.

Euler-Klasse flacher Bündel[Bearbeiten]

Simpliziale Definition[Bearbeiten]

Es sei p\colon E\to\vert K\vert ein flaches Vektorbündel über der geometrischen Realisierung \vert K\vert eines Simplizialkomplexes K mit 0-Simplizes v_1,\ldots,v_n.. Weil Simplizes kontrahierbar sind, ist das Bündel trivial über jedem Simplex. Zu beliebig gewählten s(v_i)\in p^{-1}(v_i) kann man also durch affine Fortsetzung einen Schnitt s\colon \vert K\vert\to E konstruieren.[5] Für generische s(v_i) hat dieser Schnitt keine Nullstellen auf dem (n-1)-Skelett, höchstens eine Nullstelle pro n-Simplex und ist transversal zum Nullschnitt.[6] Dann definieren wir einen simplizialen n-Kozykel \mathcal{E} durch

\mathcal{E}(\sigma)=0 falls s\vert_\sigma keine Nullstelle hat
\mathcal{E}(\sigma)=1 falls s(p)=0 für ein p\in\sigma und falls für eine positive Basis t_1,\ldots,t_n von T_pK auch t_1,\ldots,t_n,d_ps(t_1),\ldots,d_ps(t_n) eine positive Basis von T_{s(p)}E ist
\mathcal{E}(\sigma)=-1 andernfalls.

Man kann zeigen, dass \mathcal{E} ein Kozykel ist und sein Wert auf Zykeln nicht vom gewählten Schnitt abhängt.[7] Die von \mathcal{E} repräsentierte Kohomologieklasse ist die Euler-Klasse e\in H^n(K;\Z) des flachen Bündels.

Flache SL(2,R)-Bündel[Bearbeiten]

Wegen \pi_1SL(2,\R)\simeq \Z hat man die universelle Überlagerung

\Z\to \widetilde{SL(2,\R)}\to SL(2,\R),

diese ist eine zentrale Erweiterung und wird deshalb durch eine Kohomologieklasse E\in H^2(BSL(2,\R)^\delta;\Z) repräsentiert. Diese ist die universelle Euler-Klasse für flache SL(2,\R)-Bündel[8], d.h. für ein flaches Bündel P\to M mit Holonomie-Darstellung \rho\colon \pi_1M\to SL(2,\R) erhält man

e(P)=f^*(B\rho)^*(E)\in H^2(M;\Z),

wobei f\colon M\to B\pi_1M die klassifizierende Abbildung der universellen Überlagerung ist.

Flache Kreisbündel[Bearbeiten]

Es bezeichne Homeo^+(S^1) die Gruppe der orientierungs-erhaltenden Homöomorphismen des Kreises. Ihre universelle Überlagerung ist \widetilde{Homeo^+(S^1)}=\left\{f\colon\R\to\R: f(x+1)=f(x)+1\ \forall x\in \R\right\}. Die ganzen Zahlen wirken durch Translationen auf \R und man erhält eine exakte Sequenz

\Z\to \widetilde{Homeo^+(S^1)}\to Homeo^+(S^1).

Die zugehörige Gruppenkohomologie-Klasse E\in H^2(Homeo^+(S^1);\Z) ist die universelle Euler-Klasse für flache Homeo^+(S^1)-Bündel.

Eine explizite Formel wurde von Jekel[9] angegeben: die universelle Euler-Klasse E_\R\in H^2(Homeo^+(S^1);\R) wird durch den sogenannten Orientierungs-Kozykel o\in C^2(Homeo^+(S^1;\R) repräsentiert:

o(g_0,g_1,g_2)=\frac{1}{2} falls g_0(1),g_1(1),g_2(1) im Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind
o(g_0,g_1,g_2)=0 falls mindestens zwei der Werte g_0(1),g_1(1),g_2(1) übereinstimmen
o(g_0,g_1,g_2)=-\frac{1}{2} falls g_0(1),g_1(1),g_2(1) entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind.

Der Orientierungs-Kozykel repräsentiert dann auch für alle Untergruppen G\subset Homeo^+(S^1) die universelle Euler-Klasse für flache G-Bündel. Dies gilt insbesondere für flache PSL(2,\R)-Bündel: man verwende die Wirkung von PSL(2,\R) auf S^1=P^1\R durch gebrochen-lineare Transformationen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Milnor, John W.; Stasheff, James D.: Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. (Kapitel 9)
  • Dupont, Johan L.: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. ISBN 3-540-08663-3
  • Bott, Raoul; Tu, Loring W.: Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. ISBN 0-387-90613-4 (Kapitel 11)
  • Benedetti, Riccardo; Petronio, Carlo: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1992. ISBN 3-540-55534-X (Kapitel F.4)
  • tom Dieck, Tammo: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2008. ISBN 978-3-03719-048-7 (Kapitel XI)
  • Candel, Alberto; Conlon, Lawrence: Foliations. II. Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-0881-8 (Kapitel 4)

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Milnor-Stasheff (op.cit.), Theorem 12.5
  2. Chern, Shiing-Shen (1945), On the curvatura integra in a Riemannian manifold, Annals of Mathematics 46 (4): 674–684.
  3. Sharafutdinov (op.cit.), Kapitel 2
  4. Bott-Tu (op.cit.), Kapitel 11
  5. Benedetti-Petronio (op.cit.), Lemma F.4.1
  6. Benedetti-Petronio (op.cit.), Lemma F.4.2
  7. Benedetti-Petronio (op.cit.), Proposition F.4.4 und F.4.3
  8. Bucher-Karlsson (op.cit.), Abschnitt 3.1.4
  9. Jekel, Solomon M.: A simplicial formula and bound for the Euler class. Israel J. Math. 66 (1989), no. 1-3, 247–259.