Oppenheim-Vermutung

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In der Mathematik ist die Oppenheim-Vermutung eine inzwischen bewiesene Vermutung über die Werte quadratischer Formen und das klassische Beispiel für die Anwendung ergodentheoretischer Methoden in der Zahlentheorie.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei und

eine indefinite quadratische Form in n Variablen, die kein Vielfaches einer Form mit rationalen Koeffizienten ist.

Dann gibt es für jedes ein mit

.

Als Korollar erhält man, dass eine dichte Teilmenge von ist.

Beispiel: Für jedes gibt es ganze Zahlen mit

.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vermutung in dieser Form wurde 1953 (eine schwächere Vorgänger-Version schon 1929) von Alexander Oppenheim aufgestellt und für von Bryan Birch, Harold Davenport und D. Ridout bewiesen. Der allgemeine Fall lässt sich auf den Fall zurückführen und dieser wurde von M. S. Raghunathan in folgende Vermutung über die Links-Wirkung von auf dem Quotientenraum umformuliert:

Jeder beschränkte -Orbit auf ist kompakt.

Diese Vermutung wurde 1987 von Grigori Margulis bewiesen. Eine allgemeinere Version der Raghunathan-Vermutung ist der heutige Satz von Ratner.