Faktorraum

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Der Faktorraum (auch Quotientenraum)[1] ist ein Begriff aus der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Er ist derjenige Vektorraum, der als Bild einer Parallelprojektion entlang eines Untervektorraums entsteht. Die Elemente des Faktorraumes sind Äquivalenzklassen.

Definition[Bearbeiten]

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und U ein Untervektorraum von V. Durch die Festsetzung

v_1\sim v_2 \ :\Longleftrightarrow \ v_1-v_2\in U für v_1, v_2 \in V

wird auf V eine Äquivalenzrelation definiert.

Die Vektoren v_1 und v_2 sind also äquivalent, wenn sie sich um einen Vektor aus U unterscheiden. Anders gesagt: Wenn die Gerade durch die Punkte v_1 und v_2 parallel zu U ist, sind v_1 und v_2 äquivalent.

Die Äquivalenzklasse eines Punktes v ist

[v] := v+U := \{v+u\mid u\in U\},

anschaulich der zu U „parallele“ affine Unterraum durch v. Die Äquivalenzklassen werden auch als Nebenklassen bezeichnet; dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie.

Der Faktorraum von V nach U ist die Menge aller Äquivalenzklassen und wird mit V/U bezeichnet:

V/U:=\{ [v] \mid v\in V \}.

Er bildet einen Vektorraum, wenn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden:

  • [v_1]+[v_2] = [v_1+v_2]
  • \lambda\cdot[v] = [\lambda v]

für v,v_1,v_2\in V und \lambda\in K.

Diese Operationen sind wohldefiniert, also von der Wahl der Vertreter unabhängig.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Es gibt eine kanonische surjektive lineare Abbildung
\pi\colon V\to V/U,\quad v\mapsto[v].
  • Ist W ein Komplement von U in V, d.h. ist V die direkte Summe von U und W, so ist die Einschränkung von \pi auf W ein Isomorphismus. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit, V/U als Unterraum von V aufzufassen.
  • Ist V endlichdimensional, dann ergibt sich daraus die folgende Beziehung für die Dimensionen:
\dim U + \dim V/U = \dim V
  • Der Dualraum von V/U kann mit denjenigen Linearformen auf V identifiziert werden, die auf U identisch 0 sind.
  • Der Homomorphiesatz besagt, dass eine lineare Abbildung f\colon V\to W einen Isomorphismus
V/{\ker f}\to\mathrm{im}\,f
zwischen dem Faktorraum von V nach dem Kern von f und dem Bild von f induziert, d.h. die Verkettung
 V \longrightarrow V/{\ker f}\longrightarrow\mathrm{im}\,f\longrightarrow W
ist gleich f.

Anwendung in der Funktionalanalysis[Bearbeiten]

Viele normierte Räume entstehen auf die folgende Weise: Sei V ein reeller oder komplexer Vektorraum und sei p eine Halbnorm auf V. Dann ist U=\left\{v\in V \mid p(v)=0\right\} ein Untervektorraum von V. Der Faktorraum V/U wird dann mit der Norm [v] \mapsto p(v) ein normierter Vektorraum.

Allgemeiner: Sei V ein topologischer Vektorraum, der nicht hausdorffsch ist. Dann lässt sich analog zu oben ein Unterraum definieren: U=\left\{v\in V \mid   \text{Jede 0-Umgebung enthält } v\right\}= \overline{\{0\}}. Der Faktorraum V/U wird mit der Quotiententopologie ein hausdorffscher topologischer Vektorraum.

Beispiele[Bearbeiten]

Abstrakt[Bearbeiten]

Die L^p-Räume und damit auch die Sobolew-Räume sind Faktorräume.

Konkret[Bearbeiten]

Gegeben sei der Vektorraum V = \mathbb{R}^2 und der eindimensionale Untervektorraum U = \left\{\left.
\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix} \right| x \in \mathbb{R} \right\}. Dann ist zum Beispiel

\begin{pmatrix}42\\12\end{pmatrix} + U := \left\{\left.\begin{pmatrix}42\\12\end{pmatrix} + u \right| u \in U\right\}

eine Äquivalenzklasse des Faktorraumes V / U.

Anschaulich ist jede Gerade, die parallel zur winkelhalbierenden Gerade des 1. Quadranten ist, eine Äquivalenzklasse:

Faktorraum.svg

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Christoph Ableitinger, Angela Herrmann: Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra. Ein Arbeits- und Übungsbuch. 1. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1724-2, S. 106.