Orthogonalsystem

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In der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis, Teilgebieten der Mathematik, ist ein Orthogonalsystem eine Menge von Vektoren eines Vektorraums mit Skalarprodukt (Prähilbertraum), die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Sind die Vektoren zusätzlich noch normiert (d.h, sie haben die Norm 1), so spricht man von einem Orthonormalsystem.

Definition[Bearbeiten]

Eine Teilmenge M eines Prähilbertraums V heißt Orthogonalsystem, wenn gilt:

  1. Je zwei verschiedene Vektoren aus M sind zueinander orthogonal: \forall v,w \in M : v \ne w \Rightarrow \langle v, w \rangle = 0
  2. Der Nullvektor ist nicht in der Menge enthalten.

Hier bezeichnet  \langle v, w \rangle das Skalarprodukt des Raums V, im euklidischen Raum also das Standardskalarprodukt.

Gilt zusätzlich

Jeder Vektor aus M ist normiert, d. h. \forall v \in M : \langle v, v \rangle = 1,

so nennt man M ein Orthonormalsystem.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Beispiele[Bearbeiten]

  • Im \R^n mit dem Standardskalarprodukt ist die Standardbasis ein Orthogonalsystem
  • In L^2([0,2\pi]) bilden die Funktionen \cos(kx) ein Orthogonalsystem (Siehe auch trigonometrisches Polynom)
  • In \ell^2 mit dem Skalarprodukt (a,b) \mapsto \sum a_nb_n bilden die Folgen (0, \cdots, 0, 1, 0, \cdots) ein Orthogonalsystem
  • In dem Prähilbertraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 5, \mathcal P^5([0,1]), versehen mit dem L^2-Skalarprodukt (a,b) \mapsto \int_0^1 ab, bilden die Funktionen
x \mapsto 1 und x \mapsto x - \frac12
ein Orthogonalsystem.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. Kapitel V.3 (Für den unendlichdimensionalen Fall, dort finden sich auch Beweise für die Beispiele)
  •  Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13 Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3. (Für den endlichdimensionalen Fall, dort unter „Erzeugendensystem“)