Oskulation

Die Oskulation (lat., „das Küssen“, „das Anschmiegen“) ist in der Geometrie eine Berührung von mindestens 2. Ordnung, typischerweise bei differenzierbaren (glatten) Kurven.

Oskulation ist dann insbesondere „die Berührung einer ebenen Kurve durch einen Kreis (Oskulationskreis, Krümmungskreis) oder einer ebenen Kurve doppelter Krümmung durch einen Kegelschnitt bzw. einer nicht ebenen Raumkurve durch eine Ebene (Oskulationsebene), wenn im Berührungspunkt drei gemeinsame Punkte beider Gebilde infinitesimal zusammenfallen.“ Statt Oskulation sagt man auch Schmiegung und spricht von Schmiegkreisen, Schmiegebenen oder Schmiegkugeln.

Zwei glatte Kurven oskulieren einander in einem gemeinsamen Punkt, wenn nicht nur die Tangenten übereinstimmen, sondern auch die Krümmungskreise. Das ist gleichbedeutend damit, dass im gemeinsamen Berührpunkt die Jets 2. Ordnung der Kurven übereinstimmen. Die inzwischen veraltete Beschreibung mit Hilfe dreier infinitesimal benachbarter gemeinsamer Punkte entstammt der Vorstellung, auf jeder Kurve drei paarweise verschiedene Punkte zu wählen, für diese Dreiecke jeweils den Umkreis zu bestimmen und schließlich jenen Grenzfall der Umkreise zu betrachten, dass die drei Punkte auf der Kurve gegen den Berührungspunkt laufen. Bei hinreichender Glattheit der Kurven ergeben die Dreiecksumkreise im Grenzfall infinitesimalen Zusammenfallens der drei Punkte den Krümmungskreis. Eine präzise Behandlung dieser Situation erfordert die Einführung abstrakter Konvergenzbegriffe für Kurven (hier zum Beispiel für die Konvergenz von Kreisen).

Himmelsmechanik

In der Himmelsmechanik ist die einfachste oskulierende Bahn eines Himmelskörpers jene Keplerellipse, die sich einem Bahnpunkt des Himmelskörpers anschmiegt. Sie lässt sich in Form von Bahnelementen angeben, die exakt nur für einen Moment gelten, in der Astronomie Epoche genannt.

Durch verschiedene Bahnstörungen folgt die tatsächliche Umlaufbahn nicht exakt einer Keplerellipse. Werden der Bahn zu verschiedenen Zeitpunkten Ellipsen angepasst, gehen diese oskulierenden Bahnen stetig ineinander über. Die Variation der Elemente ist Gegenstand der Störungsrechnung, falls die störenden Kräfte bekannt sind oder durch Anpassung an Beobachtungen bestimmt werden können.

Der Oskulationsbegriff der Himmelsmechanik stimmt nicht mit dem Oskulationsbegriff der Differenzialgeometrie überein, sondern bezeichnet eine störungstheoretische Beschreibung einer Approximation von Bahnkurven mit hinreichend hoher Genauigkeit. Insbesondere werden Bahnen von Himmelsobjekten (z. B. von Planeten) im Rahmen von Lagrange-Störungstheorie (Variation der Konstanten) instantan durch (sich verändernde verschiedene) Kepler-Ellipsen (oder allgemeinere Kepler-Kegelschnitte) approximiert, die die Bahnkurve aber nicht von mindestens zweiter Ordnung im differenzialgeometrischen Sinn berühren müssen.

Weblinks

• Astronomische Berechnungen für Amateure. wikibooks.de, Himmelsmechanik/Bahnelemente: Mittlere und oskulierende Bahnelemente (wikibooks.org). 
• Eintrag Orbital Elements im Glossary of (comet and) astronomical terms. In: International Comet Quarterly. Abgerufen am 3. März 2018 (englisch). 
• Keith Burnett: Accuracy of planet positions using osculating elements. 8. Juli 1997; abgerufen am 3. März 2018 (englisch). 
• oskulierende Bahnen in einem restringierten 3-Körper-Problem (YouTubevideo)
• oskulierende Bahnen in einem Lagrange 3-Körper-Problem (YouTubevideo)
• oskulierende Bahnen in einem Lagrange 4-Körper-Problem (YouTubevideo)
• oskulierende Bahnen im Pythagoräischen 3-Körper-Problem (YouTubevideo)
• Wolfgang Urban: Oskulierende Kugeln. HIB Wien; abgerufen am 3. März 2018. 
• Benoît Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. Springer, 2013, S. 184/85 (Suchergebnis bei Google Books – Der Begriff der fraktalen Oskulation).