Bahnstörung

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Eine Bahnstörung ist eine Abweichung der tatsächlichen Flugbahn eines Himmelskörpers von der nach einem Modell berechneten theoretischen Flugbahn. Was unter einer Bahnstörung zu verstehen ist, hängt demzufolge vom zugrundeliegenden Modell ab.

Zur Beschreibung der Flugbahn wird meist nur das newtonsche Gravitationsgesetz zugrundegelegt und im einfachsten Fall des Zweikörperproblems die Keplerbahnen betrachtet.[1][2] Für eine genauere Bahnanalyse beispielsweise von Asteroiden werden dagegen routinemäßig die Gravitationskräfte der Sonne, aller Planeten, des Mondes und weiterer größerer Himmelskörper berücksichtigt, ebenso relativistische Effekte.[3] Bei Missionen der Satellitengeodäsie sind im Modell Störgrößen durch das unregelmäßige Erdschwerefeld, durch die Hochatmosphäre, die direkte und indirekte Sonnenstrahlung, sowie der Einfluss von Mond und Sonne (direkt und indirekt über Gezeiten) berücksichtigt.[4][5]

Durch eine Bahnstörung ändern sich die Zahlenwerte der jeweils sechs Bahnelemente (bzw. Satellitenbahnelemente). Dabei erhält (fast) jedes der Bahnelemente einen oder mehrere zeitabhängige Terme.

Neben der Änderung der Bahn wird auch der verursachende Mechanismus bzw. die Störgröße selbst als Bahnstörung bezeichnet.

Modell der Keplerbahn[Bearbeiten]

Elliptische Umlaufbahn von m um den Zentralkörper M, dem ersten keplerschen Gesetz zufolge steht M in einem Brennpunkt der Ellipse.
Hauptartikel: Keplerbahn

Die Beobachtung des Sternenhimmels mit der Messung und Berechnung der Positionen astronomischer Objekte und die Sammlung in Positionstabellen gehört zu den ältesten Teilgebieten der Astronomie. Auch heute noch werden Bahnen zahlreicher astronomischer Objekte periodisch in den Ephemeriden von renommierten Observatorien veröffentlicht. Damals wie heute sollen Bahnstörungen möglichst integriert sein. Um für den Beobachter auf der Erde möglichst direkt verwendbar zu sein werden auch Effekte wie die Aberration berücksichtigt.

Genauere Erkenntnisse über die mathematische Darstellung der Bahn eines Himmelskörpers veröffentlichte Johannes Kepler im frühen 17. Jahrhundert in Form der später nach ihm benannten keplerschen Gesetze. Diese Gesetze konnten später von Isaac Newton mit Hilfe seines Gravitationsgesetzes theoretisch hergeleitet und damit begründet werden.

Damit traten elliptische Bahnen an die Stelle der bis dahin angenommenen kreisförmigen Planetenbahnen. Für Himmelskörper höherer Energien gibt es noch andere Keplerbahnen als Lösungen des Problems, wie sich ein Himmelskörper um einen anderen (der in der Regel deutlich massereicher ist) bewegt: Parabeln oder Hyperbeln. Keplers Modell beschrieb die Bahnen deutlich besser als die Theorien zuvor. Aber auch sein Versuch, die Bahnen der Himmelskörper vorhersagbar zu machen, basierte auf bestimmten Vereinfachungen: Das eigentlich vorhandene Mehrkörperproblem wird auf ein Zweikörperproblem reduziert. Gravitations- oder andere Kräfte durch die Anwesenheit anderer Himmelskörper kommen also nicht vor. Die betrachteten Himmelskörper werden als Punktmassen mit Zentralfeld angesehen. Weitere Kraftwirkungen durch elektrische oder Magnetfelder, durch Materieströme, Strahlungsdruck, Luftwiderstand, u. ä. werden nicht betrachtet. Weit später entdeckte relativistische Effekte sind ebenfalls nicht berücksichtigt.

Einteilung nach Zeitabhängigkeit[Bearbeiten]

Bahnstörungen können eingeteilt werden in:[6]

  • Periodische Störungen – diese führen zu Schwankungen um einen Mittelwert, gleichen sich also im Mittel aus. Man unterscheidet wiederum in lang- und kurzperiodische Störungen.
  • Säkulare Störungen - diese sind „fortschreitend“ (im Sinne von linear wachsend), können sich über längere Zeiträume somit zu großen Beiträgen aufaddieren.

Gänzlich unregelmäßig können Bahnstörungen in der Nähe irregulär geformter Himmelskörper oder in Materiewolken sein.

Einteilung nach den Ursachen[Bearbeiten]

Gravitative Kräfte[Bearbeiten]

Hauptartikel: Gravitation

Es gibt verschiedene Arten von Störungen durch Gravitationseinflüsse, die schon auf Grundlage des newtonschen Gravitationsgesetzes verstehbar sind. Ursache ist die inhomogene Masseverteilung der Erde oder der gravitative Einfluss von anderen Himmelskörpern.

Schwerefeldvariationen[Bearbeiten]

Schwerkraft auf der Erdoberfläche im Vergleich zum idealen Erdellipsoid.
Siehe auch: Geoid und Erdschwerefeld

Die Beschreibung der Erde als Punktmasse ist stark vereinfachend. In besserer Näherung kann die Erde als ein abgeplatteter Ellipsoid gesehen werden. Somit gilt die Annahme der kugelsymmetrischen Massenverteilung nicht, die bei der Berechnung der Keplerbahn zugrundegelegt wurde. Bis in eine Höhe von mehreren Erdradien werden selbst offene Bahnen (Vorbeiflüge) durch die Erdabplattung messbar gestört. Auch die Abplattung der Sonne, die im Vergleich zur Erde deutlich geringer ausgeprägt ist, trägt zu einem sehr kleinen Teil zu den Periheldrehungen der Planetenbahnen bei.

Erdnahe Satelliten
Bahnelemente eines Himmelskörpers

Niedrig fliegende Satelliten (LEO) spüren Schwereanomalien durch Meere, Gebirge und Unregelmäßigkeiten der Massenverteilung im Erdinnern. Dies nutzt die Satellitengeodäsie aus. Dabei werden selbst die Gezeiten berücksichtigt.

Auf die Bahnebene der Umlaufbahn eines erdnahen Satelliten übt das unregelmäßige Gravitationsfeld der Erde ein Kippmoment aus, dem die Bahnebene durch eine Präzessionsbewegung ausweicht. Diese Ausweichbewegung führt dazu, dass der aufsteigende Knoten bzw. die Knotenlinie nicht feststeht, sondern langsam in der Äquatorebene rotiert und sich damit die Rektaszension des aufsteigenden Knotens \Omega\ ständig ändert. Die Bahnebene dreht sich um die z-Achse des astronomischen Koordinatensystems. Gleichzeitig dreht sich die Apsidenlinie in der Bahnebene – ebenfalls durch Schwerkrafteinflüsse – um den Erdmittelpunkt. Damit treten Perigäumsdrehungen auf.

Nur auf vier Positionen hält ein geostationärer Satellit seinen Standort, und nur zwei von ihnen sind stabil: 105°W und 75°O. Kleine Bahnstörungen bewirken einen Drift zu den stabilen Lagen, solche Störungen müssen also ständig korrigiert werden.

Die Auswirkung dieser Bahnstörung kann auch positiv genutzt werden. Es kann durch entsprechende Auswahl der Inklination ein sonnensynchroner Orbit generiert oder das Perigäum über einen festen Erdpunkt gehalten werden. Eine weitere Auswirkung aufgrund der Schwerefeld-Inhomogenitäten der Erde ist die Ost-West-Drift.

Einfluss anderer Himmelskörper[Bearbeiten]

Hauptartikel: Apsidendrehung
Die Periheldrehung der Bahn eines Planeten. Die Exzentrizität der Bahn und der Betrag der Drehung sind schematisch übertrieben.

Wenn ein Himmelskörper einer Anziehungskraft ausgesetzt ist, welche streng umgekehrt quadratisch mit der Entfernung vom Zentralkörper abnimmt, so würde er sich in klassischer Näherung auf einer Keplerellipse bewegen, deren Form, Lage und Orientierung im Raum unverändert bliebe. Unter der Apsidendrehung versteht man eine fortschreitende Drehung der ganzen Bahn in der Bahnebene. Im Falle der Planetenbahnen ist der Einfluss der jeweils anderen Planeten die Hauptursache für die Periheldrehungen: Aus der Summe der gravitativen Einflüsse der anderen Planeten und der Auswirkung der allgemeinen Relativitätstheorie (siehe weiter unten) resultiert – in eine bezüglich des Fixsternhintergrunds ruhenden Koordinatensystem – eine rosettenartige Bewegung der Planeten: Die anomalistische Periode entspricht nicht genau der siderischen.

Mit steigender Beobachtungsgenauigkeit konnten Anfang des 19. Jahrhunderts Abweichungen der Umlaufbahn des Planeten Uranus von der Keplerbahn präzise bestimmt werden. Als Ursache wurde ein damals noch unbekannter achter Planet des Sonnensystems angesehen, dessen Position aufgrund der Uranus-Bahnstörungen vorhergesagt werden konnte. 1846 führte das schließlich zur Entdeckung des Neptun. In gleicher Weise wurde 1930 der Zwergplanet Pluto aufgrund der von ihm verursachten Bahnstörungen entdeckt.

Auf lange Sicht bewirkt die Gezeitenreibung nicht nur eine Abbremsung der Erdrotation, sondern eine Vergrößerung der Mondbahn. Die mittlere Entfernung zwischen dem Mond und der Erde wächst jährlich um etwa 3,8 cm.

Der Einfluss der direkten Kraftwirkung durch andere Himmelskörper auf ein Objekt in der Erdumlaufbahn hängt von den Orbitparametern ab. Die wesentliche Rolle spielen Mond und Sonne. Dieser Einfluss ist im Bereich geosynchroner Bahnen größer als für stärker gebundene Satelliten. Die Gravitationskraft kann zerlegt werden in eine Komponente parallel und eine senkrecht zur Bahnebene. Die senkrechte Komponente bewirkt eine säkulare, die parallele eine periodische Störung. Die säkulare Störung beeinflusst analog der Erdabplattung die Bahnelemente i, \Omega und \omega. Für geostationäre Satelliten, also e = i = 0, verbleibt lediglich eine Auswirkung auf die Inklination. Ohne ausgleichende Korrekturen entsteht mit einer Nord-Süd-Drift von

\frac {\mathrm d}{\mathrm dt} i = 0{,}76^\circ/\text{Jahr}

ein Inclined geosynchronous orbit.

Relativistische Effekte[Bearbeiten]

Gravitationsfeld einer homogenen, nicht geladenen und nicht rotierenden Kugel - vollständige Schwarzschild-Lösung.

In der allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein wird die Gravitation als Trägheitskraft gedeutet, sie ist demnach eine geometrische Eigenschaft der gekrümmten vierdimensionalen Raumzeit. Zur Bestimmung der an einem Punkt herrschenden Krümmung der Raumzeit dienen die einsteinschen Feldgleichungen. Sie wurden so formuliert, dass sie im Grenzfall schwacher Gravitation mit dem newtonschen Gravitationsgesetz übereinstimmen. Innerhalb des Sonnensystems, wo es sich um schwache Felder bzw. geringe Krümmung der Raumzeit handelt, ergeben sich nur geringe Abweichungen von den Vorhersagen des newtonschen Gravitationsgesetzes und damit von den Keplerbahnen. Bei starker Krümmung, wie sie durch starke Konzentration großer Masse auf kleinem Raum hervorgerufen wird, kommen neuartige Phänomene vor, wie sie sich beispielsweise bei Pulsaren im Orbit um andere Sterne zeigen: Der Hulse-Taylor-Doppelpulsar verändert seine Bahn auch dadurch, weil er Energie in Form von Gravitationswellen abstrahlt.

Die Zeitdilatation[Bearbeiten]

Hauptartikel: Zeitdilatation

Bei der Zeitdilatation handelt es sich nicht um eine Bahnstörung im eigentlichen Sinn, sie hat jedoch Auswirkungen auf die technische Anwendung von Satelliten, so dass dieser Effekt für die Analyse von Bahnstörungen wichtig ist. Die Zeitdilatation hängt von zwei Größen ab, zum einen vom Ort im Gravitationsfeld und zum anderen von der Geschwindigkeit des beobachteten Objektes.[7] Das Zeitsignal der GPS-Satelliten muss entsprechend korrigiert werden: In dieser Flughöhe (MEO) hat der gravitative relativistische Effekt (der allgemeinen Relativitätstheorie) eine größere Auswirkung als der geschwindigkeitsbezogene relativistische Effekt (der speziellen Relativitätstheorie), daher laufen die Uhren des Satelliten relativ zu Uhren auf der Erde schneller.

Die Raumkrümmung[Bearbeiten]

Wegen der allgemeinen Relativitätstheorie weicht das Kraftgesetz für Himmelskörper grundsätzlich vom idealisierten invers-quadratischen Verhalten des newtonschen Gravitationsgesetzes ab (wenn auch nur in sehr geringem Ausmaß), so dass ein weiterer Beitrag zu den Periheldrehungen der Planeten entsteht.

Bekanntestes Beispiel für solche relativistischen Effekte ist die Periheldrehung des Merkur. In der Mitte des 19. Jahrhunderts benutzte Urbain Le Verrier Beobachtungen von Merkurdurchgängen für eine besonders genaue Vermessung der Merkurbahn und stellte anhand der verbesserten Daten fest, dass Merkurs Periheldrehung etwas stärker ausfiel als erwartet. Nach den Berechnungen auf Basis des newtonschen Gravitationsgesetzes sollte sie etwa 530 Bogensekunden (") pro Jahrhundert betragen, wobei circa 280" auf den Einfluss der Venus entfielen, circa 150" auf Störungen durch Jupiter und circa 100" auf die restlichen Planeten. Die beobachtete Periheldrehung (moderner Wert: 571,91" pro Jahrhundert) war jedoch deutlich größer, die Diskrepanz beträgt 43,11". Erst der relativistisch berechnete Anteil von 42,98" zur Periheldrehung stimmt recht gut mit dem beobachteten Überschuss überein.

Der Lense-Thirring-Effekt[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lense-Thirring-Effekt

Ein weiterer relativistischer Effekt ist der Lense-Thirring-Effekt. Anschaulich gesprochen bewirkt eine rotierende Masse durch eine Mitführung der Raumzeit eine Verdrillung der Raumzeit. Wenn ein Himmelskörper auf seiner Bahn rotiert, führt das also zu einer zusätzlichen Präzession. Die Satellitenmission Gravity Probe B bestätigte 2004/05 diesen Effekt. Eine andere Konsequenz des Effekts wäre, dass die Orbitalebene der Sterne, die nahe einem supermassiven Schwarzen Loch kreisen, zur Präzession um die Drehachse des Schwarzen Lochs gebracht würde. Dieser Effekt konnte noch nicht nachgewiesen werden, ein Nachweis wird jedoch in den nächsten Jahren erwartet. Durch einen Vergleich der Präzession von zwei Sternen auf verschiedenen Orbits sollte es prinzipiell möglich sein, das „no-hair-theorem“ der allgemeinen Relativitätstheorie zu bestätigen.

Nicht-gravitative Kräfte[Bearbeiten]

Wechselwirkung mit der Atmosphäre[Bearbeiten]

Bahnhöhe der Raumstation Mir während ihrer 15-jährigen Mission: Zu Beginn des 22. Sonnenfleckenzyklus wurde die Mir in einen höheren Orbit verlegt, um so den Aufwand zum Anheben der Umlaufbahn zu reduzieren.

Bei künstlichen Satelliten in niedrigen Orbits ist die Erdatmosphäre nicht zu vernachlässigen. Bei der Wechselwirkung handelt es sich nicht um eine Strömung; die Teilchen treffen einzeln auf. Da sie abprallen und auch Oberflächenatome herausschlagen, tritt je nach Neigung der getroffenen Fläche auch eine Kraft quer zur Flugrichtung auf. Die weit überwiegende parallele Kraftkomponente führt zu einem stetigen Verlust an Bahnenergie, der bei längeren Missionen ausgeglichen werden muss, um einen Absturz zu vermeiden, siehe das Diagramm zur Raumstation Mir in 300 bis 400 km Höhe. Das Hubble-Weltraumteleskop in etwa 600 km Höhe sank dagegen in 19 Jahren um nur rund 80 km.

Das Ausmaß des Effekts ist nur grob vorauszuberechnen, da die Ausdehnung der Hochatmosphäre stark von der Sonnenaktivität abhängt. Eine überschlägige Berechnung erfolgt mit Hilfe der bremsenden Kraft F_{D}:

F_{D}= \frac{1}{2} c_{w} A \rho v^2

wobei:

  • c_{w} – ist der Widerstandsbeiwert für freie Molekularströmung und liegt zwischen 2,2 und 2,5[8]
  • A – Fläche senkrecht zu Flugrichtung
  • \rho – Luftdichte in entsprechender Höhe
  • v – Geschwindigkeit des Objektes

Die Störgröße kann auch zu Gunsten einer Raumfahrtmission als Aerobraking-Manöver eingesetzt werden.

Strahlungsdruck[Bearbeiten]

Auch der Strahlungsdruck kann zu Bahnstörungen führen. Wenn ein Körper elektromagnetische Strahlung (also auch Licht) absorbiert oder reflektiert, dann wirkt sich der entsprechende Impulsübertrag auf seine Bahn aus. Bei Absorption und Emission ist der Strahlungsdruck gleich der Bestrahlungsstärke dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit. Bei vollständiger Reflexion ist der Strahlungsdruck doppelt so groß.

Im Bereich der Erdbahn ist S = 1372 \; \text{W}/\text{m}^2 die (gemittelte) Intensität der Sonnenstrahlung. Mit der Lichtgeschwindigkeit c berechnet sich der Strahlungsdruck p wie folgt:

p = (1+r) \frac{S}{c} = (1+r) \cdot 4{,}6 \cdot 10^{-6}\, \mathrm{N}/\mathrm{m}^2

Er ist abhängig von der Größe der bestrahlten Fläche und von dessen Reflexionsfaktor r und führt zu einer Kraft, die kontinuierlich von der Strahlungsquelle weg gerichtet ist.

Neben der direkten Sonnenstrahlung wirkt gegebenenfalls auch das von einem anderen Himmelskörper wie der Erde reflektierte Sonnenlicht.

Beim Poynting-Robertson-Effekt wirkt sich der Strahlungsdruck der Sonne auf die Umlaufbahnen kleiner Teilchen der interplanetaren Materie so aus, dass sich diese immer mehr der Sonne annähern.

Wärmestrahlung[Bearbeiten]

Neben dem direkten Strahlungsdruck macht sich die Strahlungsabsorption auch indirekt bemerkbar. Die daraus resultierende Erwärmung des Objekts führt zu einer zusätzlichen, meist ungleichmäßigen Emission von Wärmestrahlung. Solche Störungen sind insbesondere bei kleineren Körpern mit ihrem hohen Verhältnis von Oberfläche zu Masse relevant.

Die anisotrope Emission von Wärmestrahlung (von der Vorderseite des Flugkörpers) gilt auch als Ursache der Pioneer-Anomalie, der Bahnabweichung der Anfang der 1970er Jahre gestarteten Sonden Pioneer 10 bzw. Pioneer 11.

Beim Jarkowski-Effekt wirkt sich die unterschiedlich starke Erwärmung der sonnenzu- bzw. -abgewandten Seiten eines Asteroiden so aus, dass die verschieden große Wärmestrahlung in die verschiedenen Raumrichtungen eine Kraft auf den Himmelskörper bewirkt. Die Stärke des Effektes hängen dabei auch von der Rotation, der Oberflächenbeschaffenheit (insbesondere der Albedo) und der Wärmeleitfähigkeit des Asteroiden ab. Als Folge werden beispielsweise die Bahnen von Asteroiden, die sich in Richtung ihrer Flugbahn um die eigene Achse drehen (prograd), nach außen gedrückt und die jener, deren Eigendrehung entgegen der Flugbahn (retrograd) verläuft, nach innen verändert. Ein entsprechender Effekt hinsichtlich des Rotationszustandes eines Himmelskörpers ist der YORP-Effekt.

Elektromagnetische Wechselwirkung[Bearbeiten]

Die Magnetosphäre der Erde (künstlerische, nicht maßstäbliche Darstellung).

Für elektrisch geladene oder magnetische Objekte spielt die elektromagnetische Wechselwirkung eine besondere Rolle. Auch außerhalb der Magnetosphäre derjeniger Himmelskörper, die selbst ein planetares Magnetfeld besitzen, existiert durch die Sonne ein interplanetares Magnetfeld, welches durch den Sonnenwind verstärkt wird. Aufgrund der Wechselwirkung zwischen den Magnetfeldern bzw. mit den dazu relativ bewegten elektrischen Ladungen der Objekte wirken weitere Kräfte, die eine Bahnstörung hervorrufen können.

Berechnung gestörter Bahnen[Bearbeiten]

Sofern die störenden Kräfte quantitativ bekannt sind, lässt sich eine gestörte Bahn berechnen. Umgekehrt lässt sich durch die genaue Beobachtung einer Bahn auf störende Kräfte schließen. In beiden Fällen wird eine der folgende Rechenmethoden verwendet.

Analytische Verfahren[Bearbeiten]

Siehe auch: Störungsrechnung

Falls die Situation näherungsweise ein Zweikörperproblem darstellt, also der betrachtete Körper im Wesentlichen an einen dominierenden Massepunkt gebunden ist und Störeinflüsse sich zu wenigen einfachen Termen zusammenfassen lassen, dann ist eine sogenannte Störungsrechnung möglich. Diese geht von der Kepler-Bahn aus und integriert die Störeinflüsse bzw. die relativistischen Korrekturen über einen Umlauf. Es ergeben sich Änderungsraten der Bahnelemente, etwa eine Periheldrehung. Für mehrere Körper, die sich gegenseitig stören, ist das Verfahren ebenfalls geeignet.

Besonders einfach sind Situationen ohne Bahnresonanzen, wenn also die Umlaufperioden zueinander nicht im Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen. Die bloße Nähe zu einer Resonanzbedingung ist umso unkritischer, je geringer das Niveau der Störung ist, denn dann ändert sich die Phase der Störung, bevor eine wesentliche Wirkung eingetreten ist. Ohne Resonanzen lassen sich die störenden Körper als über ihre jeweilige Bahn verschmierte Masseringe ansetzen. Das oben für nur einen Umlauf erhaltene Ergebnis gilt dann für viele Umläufe.

Numerische Verfahren[Bearbeiten]

Falls obige Voraussetzungen nicht erfüllt sind, werden die Bahnen nach der Methode der kleinen Schritte berechnet, z.B. mit einem Runge-Kutta-Verfahren.

Falls sehr viele Massepunkte zu berücksichtigen sind, etwa bei der Begegnung zweier Galaxien, kann unter Umständen eine Finite-Elemente-Methode mit geringerem Rechenaufwand sinnvolle Ergebnisse liefern.

Siehe auch[Bearbeiten]

  • Kozai-Effekt: Periodische Bahnstörung, verursacht durch die Gravitationswirkung weiterer Himmelskörper, welche beispielsweise die Entstehung irregulärer Satelliten der Planeten, die hohe Anzahl an heißen Jupitern unter den Exoplaneten oder die Entstehung von Blauen Nachzüglern erklärt
  • Fly-by-Anomalie: Seit 1990 mehrfach aufgetretene kleine zusätzliche Geschwindigkeitszunahme, die Raumsonden bei einem Fly-by an der Erde erfahren haben

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Max Born: Die Relativitätstheorie Einsteins und ihre physikalischen Grundlagen. BoD – Books on Demand (Nachdruck), 26. Juni 2011, ISBN 978-3-86741-722-8, S. 12– (Zugriff am 19. Dezember 2012).
  2. Mathias Scholz: Himmelsmechanik: Astronomie und Astrophysik II. epubli, 24. Juli 2012, ISBN 978-3-8442-2642-3, S. 120– (Zugriff am 19. Dezember 2012).
  3. Anwendung des "Standard Dynamical Model" (PDF; 1,4 MB) bei der NASA. Berücksichtigt sind dabei auch Ceres, Pallas und Vesta
  4. Thorsten Mayer-Gürr: Gravitationsfeldbestimmung aus der Analyse kurzer Bahnbögen (Dissertation, München 2012; PDF; 5,4 MB)
  5. Christoph Förste: Das Schwerefeld der Erde und seine Vermessung mit Satelliten (PDF; 423 kB)
  6. Günter Seeber: Satellitengeodäsie: Grundlagen, Methoden und Anwendungen. Walter de Gruyter, 1989, ISBN 978-3-11-010082-2, S. 96 (Zugriff am 3. December 2012).
  7. Alfred Mischke: Vorlesung zur Veranstaltung Vermessungskunde im WS 2011/12 (PDF; 423 kB), aufgerufen am 4. August 2012
  8. Gräßlin, Michael (2004): Widereintritts-Satellit – Ein Satellit kommt zurück (PDF; 2,8 MB), Vorlesung, Universität Stuttgart