Petrus Hispanus

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Petrus Hispanus ist ein bedeutender Logiker des 13. Jahrhunderts. Er verfasste um 1240 zwölf Traktate, die später unter dem Titel „Summulae logicales“ tradiert wurden. Sie stellen die populärste mittelalterliche Einführung in die Logik dar mit einer langen Wirkungsgeschichte.

Autorschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Traditionell wird der Logiker Petrus Hispanus mit dem portugiesischen Mediziner Petrus Hispanus (1205–1277) identifiziert, der in seinem letzten Lebensjahr zum Papst Johannes XXI. ernannt wurde.[1] Dies ist aber nicht gesichert. Als alternative Autoren der Summulae logicales werden auch verschiedene Dominikaner diskutiert.[2] Eine griechische Vorlage von Michael Psellos gibt es nicht; ihm wurde eine spätere Rückübersetzung der Traktate von Petrus Hispanus ins Griechische unterschoben.[3] Die Syllogistik nach Petrus Hispanus deckt sich weitgehend mit derjenigen von William of Sherwood; die Datierung ihrer Schriften wird unterschiedlich eingeschätzt, so dass die Priorität nicht eindeutig ermittelt werden kann.[4] Die einprägsame Darstellung der aristotelischen Logik für den scholastischen Unterricht erreichte aber über Petrus Hispanus erst Popularität. Schon in Dantes Göttlicher Komödie wurde er unter den Weisheitslehrern im Sonnenhimmel des Paradiso gerühmt als Pietro Ispano lo qual già luce in dodici libelli (Petrus Hispanus, dessen Licht schon in den zwölf Büchlein leuchtet).[5] Seine Summulae logicales wurde immer wieder aufgelegt und kommentiert und waren bis ins 17. Jahrhundert an Universitäten verbreitet. Die darin enthaltene Codierung der aristotelischen Syllogistik wird noch heute gebraucht.

Mnemotechnische Syllogistik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Petrus Hispanus referierte im vierten Traktat die assertorische Syllogistik des Aristoteles und ergänzte eine Mnemotechnik. Er übersetzte die aristotelischen Sätze in eine verständliche Sprache und kürzte sie symbolisch ab. Die Übersetzung tastet den logischen Gehalt der originalen Syllogistik nicht an. Daher besteht der logische Fortschritt nur in der Codierung, die einem Kalkül nahekommt und einen mnemotechnischen Zweck hat. Letzter konzentriert sich in einem Merkgedicht, das 19 aristotelische Syllogismen aufzählt und mit Namen benennt:

Barbara Celarent Darii Ferio Baralipton
Celantes Dabitis Fapesmo Frisesomorum
Cesare Cambestres Festino Barocho Darapti
Felapto Disamis Datisi Bocardo Ferison[6][4]

Codierung der Aussagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Petrus Hispanus zog den Originalaussagen aus der Analytik die älteren verständlicheren kategorischen Aussagen mit vertauschten Termen vor und kürzte sie durch Vokalcodes ab, so dass sie leicht in Formeln übersetzt werden können:

Code[6] Namen kategorische Aussagen[7] Formeln Aussagen der Analytik[8]
a universell affirmativ omnis A est B Jedes A ist ein B AaB B kommt jedem A zu
e universell negativ nullus A est B Kein A ist ein B AeB B kommt keinem A zu
i partikulär affirmativ quidam A est B Irgendein A ist ein B AiB B kommt irgendeinem A zu
o partikulär negativ quidam A non est B Irgendein A ist kein B AoB B kommt irgendeinem A nicht zu

Codierung der Syllogismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die aristotelischen Syllogismen werden hier schematisch notiert: Prämisse 1, Prämisse 2 → Konklusion. Petrus Hispanus nannte die erste Prämisse major und die zweite minor und schrieb sie vertikal übereinander. Aristoteles teilte die Syllogismen in drei Figuren ein, die sich in der Stellung des Oberterms A in Prämisse 1, des Mittelterms B in beiden Prämissen und des Unterterms C in Prämisse 2 unterscheiden. Syllogismen mit konvertierter Konklusion reichte Aristoteles nach, zählte sie aber nicht zur ersten Figur,[9] wie es Petrus Hispanus tat (Tabelle Figur 1a). Da dieser auch die Terme vertauschte, sehen seine Figuren anders aus als im Original: Dort wäre AaB die Originalaussage "A kommt jedem B zu" und der erste Syllogismus wäre das Transitivgesetz AaB, BaC → AaC; diese Urform verschwindet in der Darstellung mit vertauschten Termen. Alle Syllogismen sind also äußerlich umgeschrieben. Die ersten drei Vokale ihrer Merknamen nennen jeweils die vorkommenden Aussageformen der Reihe nach (in der Tabelle fettgedruckt).

Figur Syllogismus Merkname Beispiel des Petrus Hispanus [10]
Figur 1 [11]
BxA, CyB → CzA
BaA, CaB → CaA Barbara Jedes Lebewesen ist ein Wesen
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Jeder Mensch ist ein Wesen
BeA, CaB → CeA Celarent Kein Lebewesen ist ein Stein
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Kein Mensch ist ein Stein
BaA, CiB → CiA Darii Jedes Lebewesen ist ein Wesen
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Mensch ist ein Wesen
BeA, CiB → CoA Ferio Kein Lebewesen ist ein Stein
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Mensch ist kein Stein
Figur 1a [9]
BxA, CyB → AzC
BaA, CaB → AiC Baralipton Jedes Lebewesen ist ein Wesen
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Wesen ist ein Mensch
BeA, CaB → AeC Celantes Kein Lebewesen ist ein Stein
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Kein Stein ist ein Mensch
BaA, CiB → AiC Dabitis Jedes Lebewesen ist ein Wesen
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Wesen ist ein Mensch
BaA, CeB → AoC Fapesmo Jedes Lebewesen ist ein Wesen
Kein Stein ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Wesen ist kein Stein
BiA, CeB → AoC Frisesomorum Irgendein Lebewesen ist ein Wesen
Kein Stein ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Wesen ist kein Stein
Figur 2 [12]
AxB, CyB → CzA
AeB, CaB → CeA Cesare Kein Stein ist ein Lebewesen
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Kein Mensch ist ein Stein
AaB, CeB → CeA Cambestres Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Kein Stein ist ein Lebewesen
Also: Kein Stein ist ein Mensch
AeB, CiB → CoA Festino Kein Stein ist ein Lebewesen
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Mensch ist kein Stein
AaB, CoB → CoA Barocho Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Irgendein Stein ist kein Lebewesen
Also: Irgendein Stein ist kein Mensch
Figur 3 [13]
BxA, ByC → CzA
BaA, BaC → CiA Darapti Jeder Mensch ist ein Wesen
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist ein Wesen
BeA, BaC → CoA Felapto Kein Mensch ist ein Stein
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist kein Stein.
BiA, BaC → CiA Disamis Irgendein Mensch ist ein Wesen
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist ein Wesen
BaA, BiC → CiA Datisi Jeder Mensch ist ein Wesen
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist ein Wesen
BoA, BaC → CoA Bocardo Irgendein Mensch ist kein Stein
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist kein Stein
BeA, BiC → CoA Ferison Kein Mensch ist ein Stein
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist kein Stein

Codierung der Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Argumente, die Aristoteles in seinen Beweisen einsetzte, kürzte Petrus Hispanus mit Konsonanten ab, und zwar jeweils mit einer Initiale eines typischen Worts im Argumentnamen. Auf diese Weise codierte er das aristotelische Axiomensystem der Syllogistik vollständig entsprechend folgender Tabelle:

Code [6] Argumentname [6] aristotelische Regel formalisiert
B Barbara BaA, CaB → CaA vollkommene
Syllogismen [14]
C Celarent BeA, CaB → CeA
D Darii BaA, CiB → CiA
F Ferio BeA, CiB → CoA
s conversio simplex AeB → BeA
AiB → BiA
Konversionen [15]
p conversio per accidens AaB → BiA
m transpositio in premissis
de majori minorem
A, B → B, A Prämissentausch [16]
c


per impossibile
ex opposito conclusionis [17]
A, ¬C → Widerspruch
äquivalent zu A → C
indirekter Beweis[18]
per
Negation von o und i
equipollet suo contradictorio [19] ¬(AoB) = AaB
¬(AiB) = AeB

Codierung der Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Merknamen codieren die Syllogismen samt Beweis. Petrus Hispanus achtete darauf, dass in Merknamen nur die Code-Konsonant vorkommen, bei denen die zugehörige Regel auch anzuwenden ist; daher haben vollkommene Syllogismen als Axiome keine anderen Code-Konsonanten. Folgende Tabelle hebt die Code-Konsonanten fettgedruckt hervor und überträgt die Codierung in die aristotelischen Beweise, die so übersichtlich und präzise nachvollziehbar werden:

Syllogismus Beweiscode Beweis [10]
BaA, CaB → CaA Barbara beweist nur sich
BeA, CaB → CeA Celarent beweist nur sich
BaA, CiB → CiA Darii beweist nur sich
BeA, CiB → CoA Ferio beweist nur sich
BaA, CaB → AiC Baralipton BaA, CaB Barbara CaA conversio per accidens AiC
BeA, CaB → AeC Celantes BeA, CaB Celarent CeA conversio simplex AeC
BaA, CiB → AiC Dabitis BaA, CiB Darii CiA conversio simplex AiC
BaA, CeB → AoC Fapesmo BaA, CeB conversio per accidens AiB, CeB conversio simplex AiB, BeC de majori minorem BeC, AiB Ferio AoC
BiA, CeB → AoC Frisesomorum BiA, CeB conversio simplex AiB, CeB conversio simplex AiB, BeC de majori minorem BeC, AiB Ferio AoC
AeB, CaB → CeA Cesare AeB, CaB conversio simplex BeA, CaB Celarent CeA
AaB, CeB → CeA Cambestres AaB, CeB de majori minorem CeB, AaB conversio simplex BeC, AaB Celarent AeC conversio simplex CeA
AeB, CiB → CoA Festino AeB, CiB conversio simplex BeA, CiB Ferio CoA
AaB, CoB → CoA Baroco ex opposito conclusionis AaB, CaA, CoB Barbara CaB, CoB impossibilis (Widerspruch)
BaA, BaC → CiA Darapti BaA, BaC conversio per accidens BaA, CiB Darii CiA
BeA, BaC → CoA Felapto BeA, BaC conversio per accidens BeA, CiB Ferio CoA
BiA, BaC → CiA Disamis BiA, BaC conversio simplex AiB, BaC de majori minorem BaC, AiB Darii AiC conversio simplex CiA
BaA, BiC → CiA Datisi BaA, BiC conversio simplex BaA, CiB Darii CiA
BoA, BaC → CoA Bocardo ex opposito conclusionis BoA, CaA, BaC Barbara BoA, BaA impossibilis (Widerspruch)
BeA, BiC → CoA Ferison BeA, BiC conversio simplex BeA, CiB Ferio CoA

Code-Varianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Merkgedicht kursiert heute in verschieden Varianten. Der Kernbestand der Figuren 1-3 blieb unverändert bis auf orthographische Varianten: Camestres, Felapton, Baroco. Die eingeschobene Figur 1a wurde später durch die Figur 4 ersetzt, die nur die Prämissen der Syllogismen vertauscht und die Variablen umbennennt, um die sonstige Konklusionform CzA zu erreichen. Die Beweise laufen dann analog, erforderten aber neue Merknamen, die den Code m einfügen oder streichen; es sind verschiedene Kunstnamen seit dem 17. Jahrhundert gebräuchlich:

Figur 4 Syllogismus Merkname Merkname englische Tradition
AxB, ByC → CzA AaB, BaC → CiA Bamalip Bramantip
AaB, BeC → CeA Calemes Camenes
AiB, BaC → CiA Dimatis Dimaris
AeB, BaC → CoA Fesapo Fesapo
AeB, BiC → CoA Fresison Fresison

Nachfolger des Aristoteles vervollständigten die Liste der 19 aristotelischen Syllogismen auf alle 24 möglichen Syllogismen.[20] Sie ergänzten bei Aristoteles fehlende Subalternationen der Syllogismen Barbara, Celarent, Camestres, Cesare, Calemes, die seit dem 16. Jahrhundert mit modifizierten Namen bezeichnet werden,[21] die aber den Beweis per Subalternation (ps oder cps) nicht codieren:

Figur Syllogismus Merkname Beweis-Code
Figur 1 BaA, CaB → CiA Barbari Barbara ps
BeA, CaB → CoA Celaront Celarent cps
Figur 2 AeB, CaB → CoA Cesaro Cesare cps
AaB, CeB → CoA Camestros Cambestres cps
Figur 4 AaB, BeC → CoA Calemos Calemes cps

Reduzierte Syllogistik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Petrus Hispanus codierte nur einen kleinen Ausschnitt aus der Logik des Aristoteles. Die komplizierte und umstrittene modale Syllogistik[22] klammerte er aus. Sein Code erfasst nur den überzeugenden Kern der assertorischen Syllogistik, aber auch aus ihr längst nicht alles. Zum Beispiel überging er alle Falsifikationen, mit denen Aristoteles an Beispielen demonstrierte, dass es mit anderen Prämissen keine Syllogismen gibt. Er codierte auch nicht die indirekten Beweise von Darii und Ferio der Figur 1, die Aristoteles später nachreichte, um sein Axiomensystem zu reduzieren, ebenso nicht dessen indirekten Beweis der zweiten Konversion.

Reduktion des Axiomensystems [23]
BaA, CiB → CiA Darii ex opposito conclusionis BaA, CeA, CiB Cambestres CeB, CiB Widerspruch
BeA, CiB → CoA Ferio ex opposito conclusionis BeA, CaA, CiB Cesare CeB, CiB Widerspruch
AiB → BiA conversio simplex 2 ex opposito conclusionis AiB, BeA conversio simplex 1 AiB, AeB Widerspruch

Trotzdem erzielte Petrus Hispanus mit seiner codierten Syllogistik einen anhaltenden Erfolg. Der Ableitung seines Systems galt auch George Booles mathematische Logik mit Definitionen, die Leibniz schon 160 Jahre vorher angegeben, aber nicht publiziert hatte:

Definitionen in der booleschen Algebra [24][25]
universelle Aussagen XaY := X¬Y=0     XeY := XY=0
partikuläre Aussagen XoY := X¬Y≠0 XiY := XY≠0
verknüpfte Aussagen A, B := AB A→C := A=AC

Mit diesen Definitionen bewies Boole die codierten Regeln unter der Voraussetzung nichtleerer Terme.[26] Nötig ist das aber nur bei der Konversion p und damit bewiesenen Syllogismen. Will man Leerterme nicht verbieten, so muss man in diesen Fällen nichtleere Terme voraussetzen:

Theorem-Varianten in der booleschen Algebra
AaB, A≠0 → BiA p conversio per accidens BaA, CaB, C≠0 → CiA Barbari
BaA, CaB, C≠0 → AiC Baralipton BeA, CaB, C≠0 → CoA Celaront
BaA, CeB, B≠0 → AoC Fapesmo AeB, CaB, C≠0 → CoA Cesaro
BaA, BaC, B≠0 → CiA Darapti AaB, CeB, C≠0 → CoA Camestros
BeA, BaC, B≠0 → CoA Felapto AaB, BeC, C≠0 → CoA Calemos

Mit leicht abgewandelten Definitionen XaY:=(X¬Y=0)(X≠0) und XoY:=¬(XaY) ergibt sich aber ganz genau die Syllogistik des Aristoteles. Petrus Hispanus übersetzte sie also schon in einen ziemlich perfekten konsistenten Kalkül; zudem bildete er seine Beispiele konsequent in einem wohldefinierten Modell: Man setzt in einer achtwertigen booleschen Algebra mit Gleichheit MENSCH und STEIN als minimale nichtleere Terme und außerdem LEBEWESEN=NICHT-STEIN und WESEN=1. Das ergibt das kleinste Modell, in dem diese Terme verschieden sind und die Aussagen der Syllogismus-Beispiele alle wahr sind. Man kann auch alle aristotelischen Falsifikationen in diesem Modell nachvollziehen.

Porphyrianischer Baum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Petrus Hispanus prägte im Tractatus II, Kapitel 11 der Summulae logicales den Begriff des Porphyrianischen Baums als Name für den Baum, der das Klassifikationssystem des Porphyrios visualisierte.

Werke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Petrus Hispanus: Tractatus = Summulae logicales, ed. L. M. De Rijk, Assen, 1972.
Deutsche Übersetzung: Petrus Hispanus: Logische Abhandlungen. Aus dem Lateinischen von W. Degen und B. Bapst, München 2006, ISBN 3-88405-005-2.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Traditionelle Zuschreibung auf neuestem Stand: W. Degen und B Bapst: Logische Abhandlungen, München 2006, Vorwort.
  2. Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O. P., Auctor Summularum (I). In: Vivarium. 35,1 (1997), S. 21–71. Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O.P., Auctor Summularum (II): Further documents and problems. In: Vivarium. 39,2 (2001), S. 209–254. Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O.P., Auctor Summularum (III). "Petrus Alfonsi" or "Petrus Ferrandi"? In: Vivarium. 41,2 (2004), S. 249–303.
  3. Dazu die fundierte Bibliographie: Paul Moore, Iter Psellianum, Toronto 2005, MISC 59.
  4. a b William of Sherwood: Introductiones in logicam III. Er codiert die Beweise nicht korrekt: indirekte Beweise durch B r, was zu Barbara und Baralipton nicht passt, und das Codewort Campestres (=Felder) mit Code p zuviel (daher schreibt Petrus Hispanus Cambestres und die spätere Tradition Camestres als sinnloses Wort).
  5. Dante: Divina Comedia, Paradiso XII, 134f. Deutsch online: [1]
  6. a b c d Petrus Hispanus, Summulae logicales, Tractatus IV 13, Merkgedicht mit originaler Orthographie, dort in Großschrift.
  7. Übersetzungen nach: Aristoteles: Topik II 1, 108b35ff, Aristoteles: De interpretatione 7, 17b17-212
  8. Aristoteles: An.pr. (erste Analytik) A1, 24a18f
  9. a b Aristoteles: An.pr. A7 29a24-27
  10. a b Petrus Hispanus, Summulae logicales, Tractatus IV 6, IV 8f, IV 11, jeweils verbal beschriebener Syllogismus, Beispiel, Beweisskizze mit Argumenten (ermittelt aus An.pr. A4-7).
  11. Aristoteles: An.pr. A4 25b37b-26a2, 26a23-28, vollkommene Syllogismen (Axiome)
  12. Aristoteles: An.pr. A5 27a5-39
  13. Aristoteles: An.pr. A6 28a17-35
  14. Aristoteles: An.pr. A4, 25b32ff.
  15. Aristoteles: An.pr. A2, 25a15-22.
  16. Selten explizit erwähnt, etwa: Aristoteles: An.pr. B4, 57a17 μετάθεσις.
  17. Summule logicales IV 9.
  18. Aristoteles: An.pr. B14, 62b29-35.
  19. Summule logicales I 12, I 18.
  20. Apuleius: Peri Hermeneias. In: C. Moreschini (Hrsg.): De Philosophia libri. Stuttgart/ Leipzig 1991, S. 189-215, verweist S. 213 auf drei primäre und zwei sekundäre Subalternationen des Ariston von Alexandria, einem Peripatetiker des 1./2. Jahrhunderts, dessen Schriften verloren sind.
  21. Die älteste Quelle dürfte sein: Alexander Achillini:De potestate syllogismis, Edition 1545, S. 155 [2]
  22. An.pr. A8-22 (14 Kapitel).
  23. Aristoteles: An.pr. A2, 25a20f indirekter Beweis der 2. conversio simplex. An.pr. A7, 29b9-14 Beweis von Darii und Ferio.
  24. George Boole: The mathematical Analysis of Logik, 1847; S. 31 mnemonic verses (englische Tradition) [3]; S. 20f Definitionen: ¬x:=1-x, a als x(1-y)=0, e als xy=0, i als v=xy, o als v=x(1-y) mit Variablen für elementhaltige Klassen laut S. 15 (v eliminierbar mit v≠0). Verknüpfte Aussagen: S. 51 Konjunktion als xy, S. 54 (36) Implikation x(1-y)=0 mit Verweis auf S. 21 (4) mit äquivalenter Formel xy=x (Tabelle).
  25. Leibniz: Generales Inquisitiones, 1686, ediert 1903: §151 kategorische Aussagen mit 'est res' für ≠0 und 'non est res' für =0 [4]; §198,6 setzt die Implikation synonym zu 'A continet B', was §16/§83 als A=AB definiert.
  26. George Boole: The mathematical Analysis of Logik: S. 15 elementhaltige Klassen; S. 26ff simple conversion (s), conversion per accidens (p); S. 34 Barbara (B), Celarent (C), Prämissentausch (m); die Äquivalenz der Implikationsformeln (vorige Fußnote) ist der indirekte Beweis (c).