Pfadintegral

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Funktionalintegrale werden in der theoretischen Physik gewöhnlich als Pfadintegral bezeichnet. Diese spezielle Bezeichnung geht zurück auf die Feynman'sche Formulierung der Quantenmechanik, bei der bei einer Bewegung eines Teilchens von Punkt A zu Punkt B alle möglichen Pfade von A nach B berücksichtigt werden und nicht, wie in der klassischen Mechanik, nur der Pfad mit kleinster Wirkung.

Pfadintegrale sind seit langem ein grundlegendes Werkzeug in der Quantenfeldtheorie, wo sich mit Hilfe von Grassmann-Variablen Pfadintegrale auch für fermionische Felder definieren lassen. Störungsrechnung, Renormierungsgruppe usw. werden i.d.R. mit Hilfe von Pfadintegralen formuliert.[1]

Darüber hinaus treten Pfadintegrale auch in der klassischen statistischen Mechanik bei der Berechnung von Zustandssummen sowie in der kritischen Statik und Dynamik auf. Die formale Gemeinsamkeit zwischen Quantenfeldtheorie und klassischer statistischer Mechanik umfasst auch Störungsrechnung, Renormierungsgruppe, Instantonen und andere Techniken.

Definition[Bearbeiten]

Ein Pfadintegral (Funktionalintegral) erstreckt sich über den Raum einer reell- oder komplexwertigen Funktion Φ(x), und nicht wie ein gewöhnliches Integral über einen endlichdimensionalen Raum. Die Koordinate x fungiert im Pfadintegral nur als kontinuierlicher Index. Eine präzise Definition beinhaltet die Approximation der Funktion Φ(x) durch die Funktionswerte Φ(xn) auf einem Raumgitter mit Gitterkonstante a sowie den Limes a → 0,

Z=\int_{-\infty }^\infty \mathcal{D}\phi\exp\left(\frac{i}{\hbar}S\left(\phi\right)\right)=\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\infty }^\infty \left(\prod_{n=1}^{N}d\phi\left(x_{n}\right)\right)\exp\left(\frac{i}{\hbar}S\left(\phi\right)\right).

Der Integrand eines Pfadintegrals ist eine Exponentialfunktion, der Exponent enthält im Quantenmechanik-Fall das Wirkungsintegral S, ein Funktional der Funktion Φ(x). Im Fall der statistischen Mechanik schreibt man Pfadintegrale gewöhnlich in der Form

Z=\int_{-\infty }^\infty \mathcal{D}\phi\exp\left(-\mathcal{H}\left(\phi\right)\right),

wobei \mathcal{H} als Hamiltonian bezeichnet wird. Quantenfeldtheorien sowie Feldtheorien der kritischen Dynamik oder Statik erfordern oft eine endliche Gitterkonstante (Regularisierung, Cutoff).[1] Der Limes a → 0, N → ist in diesem Fall erst nach Berechnung der physikalischen Größen ausführbar.[2]

Historisches, Anwendungen, Varianten[Bearbeiten]

Funktionalintegrale wurden in der Quantenmechanik von Paul Dirac schon 1934 verwendet (deutschsprachige Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion Bd.3, 1933, S. 64). Feynman entwickelte daraus die nach ihm benannte Pfadintegral-Formulierung der Quantenmechanik in den 1940er Jahren. Im Fall von Punktteilchen wird hier über alle möglichen Wege q(t) eines Teilchens zwischen zwei Punkten integriert. Bei der Verallgemeinerung in der Quantenfeldtheorie wird statt dessen über die Feldkonfigurationen Φ(x, t) integriert.

Die Übergangsamplitude zwischen zwei Konfigurationen ist gegeben durch das Pfadintegral über exp(iS/h) mit entsprechenden Randbedingungen. Diese einfache Aussage kann zum grundlegenden Prinzip der Quantenmechanik erklärt werden, die Schrödingergleichung ist eine Konsequenz davon.

In der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie ist der Exponent im Integranden der Pfadintegrale imaginär. Im Gegensatz dazu sind die Exponenten der Pfadintegrale der klassischen Physik reell. In der Mathematik sind Pfadintegrale bzw. Funktionalintegrale Teil der Funktionalanalysis. Das Konvergenzverhalten und die Wohldefiniertheit des Pfadintegrals sind mathematisch nicht vollständig erforscht; es kann aber als gesichert gelten, dass die imaginärzeitige Formulierung mit dem Wiener-Maß in vielen Fällen exakt begründet werden kann und dass mit der sog. Wick-Rotation ein exakter Zusammenhang zwischen reell-wertiger und imaginärer Formulierung besteht („Statistische Physik bzw. Quantenfeldtheorie“).

Früher wurde auch die Bezeichnung Wegintegral für Pfadintegrale verwendet, doch bestehen hier Verwechslungsgefahren.

Quantenmechanik von Punktteilchen[Bearbeiten]

Die Quantenmechanik eines Teilchens wird beschrieben durch die Schrödingergleichung


\frac{\partial}{\partial t}\psi\left(q,t\right)=\frac{-i}{\hbar}H\left(\hat p,q,t\right)\psi\left(q,t\right),

wobei H(p,q,t) die Hamiltonfunktion, q eine Position im Raum und \hat p=-i\hbar\nabla_q der Impulsoperator ist. Das Feynman'sche Pfadintegral


\psi\left(q^{\prime},t^{\prime}\right)=\mathfrak{\mathcal{N}}\int\mathcal{D}q\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int_{t}^{t^{\prime}}dt^{\prime\prime}L\left(q,\dot{q},t^{\prime\prime}\right)\right\} \psi\left(q,t\right)

erstreckt sich über die Pfade q(t) des Teilchens und liefert zur Lösung ψ(q,t) der Schrödingergleichung zum Zeitpunkt t die Lösung zum Zeitpunkt t'. Der konstante Normierungsfaktor \mathfrak{\mathcal{N}} ist i.A. uninteressant, L\left(q,\dot{q},t\right)=p\dot{q}-H\left(p,q,t\right) ist die zur Hamiltonfunktion gehörende Lagrangian.

In etwas kompakterer Schreibweise besagt das Pfadintegral, dass die Wahrscheinlichkeit das Teilchen zum Zeitpunkt t' am Punkt B zu finden wenn es sich zum Zeitpunkt t bei A befunden hat proportional ist zu |Z(B,A)|2 mit


Z\left(B,A\right)=\mathfrak{\mathcal{N}}\int\mathcal{D}q \exp\left(\frac{i}{\hbar}S\right).

Das Integral beinhaltet hier nur die Pfade von (A,t) zu (B,t'), und es gilt[3]


Z\left(B,A\right)=\mathfrak{\mathcal{N'}}\int{d}q_c Z\left(B,C\right)Z\left(C,A\right).

Herleitung[Bearbeiten]

Der Übergang von der Schrödingergleichung zum Feynman'schen Pfadintegral erfordert keine Quantenmechanik. Vielmehr sind auch andere Differentialgleichungen ähnlicher Struktur (z.B. Fokker-Planck-Gleichungen) äquivalent zu einem Pfadintegral. Die Herleitung des Pfadintegrals zur Schrödingergleichung erfordert nur vier Zeilen, ist instruktiv, und lässt sich daher hier skizzieren[4]. Der Eindeutigkeit wegen wird festgelegt, dass in allen Termen von H die Nabla-Operatoren links stehen. Eine Integration der Schrödingergleichung für eine Raumdimension über ein Zeitintervall ϵ liefert

\begin{align}
\psi\left(q',t+\epsilon\right) &= \left(1-\frac{i\epsilon}{\hbar}H\left(-i\hbar\nabla_q', q',t\right)
\right)\psi\left(q',t\right)+O\left(\epsilon^2\right)\\
 &= \int_{-\infty}^{\infty}dq\left(\left(1-\frac{i\epsilon}{\hbar}H\left(i\hbar\nabla_{q},q,t\right)\right)\delta\left(q^{\prime}-q\right)\right)\psi\left(q,t\right)+O\left(\epsilon^{2}\right).
\end{align}

Das andere Vorzeichen des Nabla-Operators in der zweiten Zeile erklärt sich daraus, dass die Ableitungen in allen Termen der Hamilton-Funktion hier rechts stehen und auf die δ-Funktion wirken. Eine partielle Integration führt zurück zur ersten Zeile. Einsetzen des Fourier-Integrals

\delta\left(q'-q\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dp}{2\pi\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}p\left(q'-q\right)}

ergibt

\begin{align}
\psi\left(q',t+\epsilon\right) &= \int_{-\infty}^{\infty}dq\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dp}{2\pi\hbar}\left(\left(1-\frac{i\epsilon}{\hbar}H\left(p,q,t\right)\right)e^{\frac{i}{\hbar}p\left(q'-q\right)}\right)\psi\left(q,t\right)+O\left(\epsilon^{2}\right)\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}dq\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dp}{2\pi\hbar}\exp\left\{ \frac{i\epsilon}{\hbar}\left[p\frac{q'-q}{\epsilon}-H\left(p,q,t\right)\right]\right\} \psi\left(q,t\right)+O\left(\epsilon^{2}\right).
\end{align}

Diese Gleichung liefert ψ(q',t+ϵ) als Funktional von ψ(q,t). Eine N=(t'-t)/ϵ -malige Iteration liefert ψ(q',t') in Gestalt eines Pfadintegrals über q und p,


\psi\left(q^{\prime},t^{\prime}\right)=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{n=1}^{N}\int\frac{dq_{n}dp_{n}}{2\pi\hbar}\right)\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\sum_{n=1}^{N}\epsilon\left[p_{n}\dot{q}_{n}-H\left(p_{n},q_{n},t_{n}\right)\right]\right\} \psi\left(q_{1},t_{1}\right).

Diese "Hamilton'sche" Form des Pfadintegrals wird im Fall der Schrödingergleichung gewöhnlich durch Ausführen der p-Integrale vereinfacht.[3] Dies ist in geschlossener Form möglich da p im Exponenten nur quadratisch vorkommt (wegen möglicher Komplikationen in Spezialfällen siehe Ref.[3]). Das Ergebnis ist das oben aufgeführte Feynman'sche Pfadintegral.

Resumee[Bearbeiten]

In der klassischen Physik kann man die Bewegung von Teilchen (und zum Beispiel Lichtstrahlen) zwischen zwei Punkten A, B in Raum und Zeit mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung (Hamiltonsches Prinzip) im Rahmen der Variationsrechnung berechnen. Die Wirkung ist das zeitliche Integral der Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie (Lagrangefunktion) von Startzeitpunkt, an dem sich das Teilchen in A befindet, bis zum Endzeitpunkt, an dem sich das Teilchen in B befindet. Nach dem Hamiltonschen Prinzip ist die Wirkung für den gewählten Weg ein Extremum, ihre Variation verschwindet. Für ein freies Teilchen ohne Potential ergibt sich eine Bewegung auf einer Geraden von einem Punkt A zu einem Punkt B. Ein Beispiel, in dem der Weg keine Gerade mehr ist, ist der eines Lichtstrahls, der Medien unterschiedlicher optischer Dichte passiert (was sich mit Hilfe eines Potentials in der Lagrangefunktion beschreiben lässt), hier ist der günstigste Weg (optischer Weg) keine Gerade mehr: es kommt zur Brechung des Lichtstrahls.

In der Quantenmechanik integriert man mit einem Pfadintegral über alle möglichen Pfade, auf denen das Teilchen von A nach B gelangen könnte, und gewichtet die Pfade dabei mit einem „Phasenfaktor" proportional zur Exponentialfunktion des imaginär gemachten und durch das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum geteilte Wirkungsfunktionals. Man nennt das auch Summe aller Pfade, weil hierbei über alle Pfade integriert wird, wenn auch mit unterschiedlichem Gewicht. Die Amplitude ist bei jedem Pfad gleich, aber die Phase, die von der jeweiligen Wirkung bestimmt wird, ist unterschiedlich. Der klassische Pfad zeichnet sich dadurch aus, dass bei ihm die Variation der Wirkung nach dem Hamiltonschen Prinzip verschwindet. Pfade in der Umgebung tragen also in etwa mit gleicher Phase bei, was zu konstruktiver Interferenz führt. Bei weiter entfernt liegenden Pfaden oszilliert der Integrand bei Wirkungen, die groß gegen das Plancksche Wirkungsquantum sind (klassischer Grenzfall), dagegen so schnell, das sich die Beiträge dieser Wege gegenseitig aufheben. Sind die Wirkungen dagegen wie bei typischen quantenmechanischen Systemen in der Größenordnung des Planckschen Wirkungsquantums, tragen auch Pfade neben dem klassischen Pfad zum Pfadintegral bei.

Insofern stellt sich das Hamiltonschen Prinzip für Teilchenbahnen nur als Spezialfall des allgemeineren Hamiltonschen Prinzip für Felder heraus. Formal wird dabei in der Feynman'schen Formulierung die Integration über alle möglichen (generalisierten) Orte durch eine Integration über alle möglichen Feldkonfiguration substituiert, womit die eigentliche Rolle des Pfadintegrals zum Lösen von Wellen- bzw. Feldgleichungen deutlicher wird, so wie es im letzten Abschnitt für die Schrödingergleichung angedeutet wurde. Dieser Sachverhalt kann dabei auch in Analogie zum Übergang von der oben erwähnten Strahlenoptik zur Wellenoptik verstanden werden. Andererseits motiviert das modifizierte Hamiltonsche Prinzip mit der Ersetzung von Phasenraumkoordinaten durch Felder die kanonische Quantisierung der Euler-Lagrange-Feldgleichungen, wodurch eine vollständig operatorwertige Behandlung der Quantenmechanik möglich wird und damit ein alternativer Zugang zur Quantenfeldtheorie geschaffen ist, der hier nicht besprochen wurde.

Bücher[Bearbeiten]

  • Hagen Kleinert Pfadintegrale in Quantenmechanik, Statistik und Polymerphysik", Spektrum Akademischer Verlag 1993 (vergriffen, online lesbar hier). Neuste englische Auflage: Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006) (auch online verfügbar)
  • Gert Roepstorff Pfadintegrale in der Quantenphysik, Vieweg 1991, 1997 (englische Übersetzung: Path integral approach to quantum physics – an introduction, Springer 1996)
  • Richard P. Feynman, Albert R. Hibbs: Quantum Mechanics and Path Integrals, Emended Edition 2005, Dover Publications, 2010 (Herausgeber Daniel F. Styer, der zahlreiche Fehler der Ausgabe von 1965 korrigierte)[5]
  • Jean Zinn-Justin Path Integrals in Quantum Mechanics, Oxford University Press 2005

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. a b Zinn-Justin, Jean: Quantum field theory and critical phenomena. Clarendon Press, Oxford 1996, ISBN 0-19-851882-X.
  2. Ein Beispiel gibt das Produkt aus zwei Faktoren, von denen der erste eine unter Umständen gegen Unendlich divergierende Konstante ist, während der zweite Faktor eine nach x differenzierbare Funktion darstellt. Dann ist der Logarithmus des Produktes auf jeden Fall nach x differenzierbar, wobei die unendliche Konstante entfällt. Die Hinzufügung eines dritten Faktors ergibt bei Logarithmierung die Addition eines zusätzlichen Summanden, usw.
  3. a b c K. Huang: Quarks Leptons & Gauge Fields. World Scientific, 1982.
  4. Die Herleitung eines Pfadintegrals zu einer Fokker-Planck-Gleichung kann nach demselben Schema erfolgen.
  5. Webseite zur Neuauflage mit Ergänzungen