Hamilton-Funktion

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Dieser Artikel behandelt die Hamilton-Funktion in der theoretischen Mechanik. Siehe Hamilton-Funktion (Kontrolltheorie) für die Bedeutung in der Theorie der optimalen Steuerung.

Die Hamilton-Funktion (auch Hamiltonian, nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist eine Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion, die, wenn keine rheonomen, also zeitabhängigen, Zwangsbedingungen vorliegen, mit der Gesamtenergie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen korrespondiert. Einfach ausgedrückt:

Die Hamilton-Funktion eines Systems von Teilchen ist i. d. R. ihre Energie als Funktion des Phasenraumes. Sie hängt also von den (verallgemeinerten) Ortskoordinaten und von den (verallgemeinerten) Impulskoordinaten der Teilchen ab und kann auch von der Zeit abhängen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hamilton-Funktion ist definiert durch

und hängt von der Zeit , den generalisierten Koordinaten und den generalisierten Impulsen ab.

Sie geht aus einer Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten hervor, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten abhängt:

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten diejenigen Funktionen

gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der generalisierten Impulse

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das totale Differential der Hamilton-Funktion lautet:

Aufgrund der Produktregel erhält man

wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:

Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:

Erhaltungsgröße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:

Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit abhängt, ist der Wert der Hamilton-Funktion eine Erhaltungsgröße.

Implikationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und Teilchenimpulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch sogenannte kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für als Funktion von Operatoren und liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Massenpunkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einem Teilchen der Masse , das sich nichtrelativistisch in einem Potential bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

gilt für die Hamilton-Funktion

Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

hängt der generalisierte Impuls gemäß

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

des Impulses.

Harmonischer Oszillator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2. Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.