Positive Operator Valued Probability Measure

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Positive Operator Valued (Probability) Measure, abgekürzt als POVM, ist eine Beschreibung des quantenmechanischen Messprozesses in der Physik. Mathematisch gesehen ist ein POVM eine Art Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Werte positive Operatoren statt positiver Zahlen sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein POVM auf einem Messraum ist eine Abbildung mit Werten in der Menge der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraumes , die folgenden drei Bedingungen genügt:

  • Für alle gilt (hier bezeichnet die identische Abbildung auf dem Hilbertraum). Das heißt, ist positiv und daher auch selbstadjungiert.
  • .
  • Für jede Folge paarweise disjunkter Mengen gilt
wobei die unendliche Reihe im Sinne der starken Operatortopologie konvergiert.

Erläuterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Definition eines POVM steht in Analogie zu den Kolmogorow-Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie, wobei die Wahrscheinlichkeit durch einen positiven Operator statt durch eine positive reelle Zahl beschrieben wird. POVM verallgemeinern den Begriff des Spektralmaßes, der in der Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren auftritt.

Verwendung in der Quantenmechanik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Quantenmechanik treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf. Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten , die folgendes erfüllen:

  • , hier ist die Einheitsmatrix. Insbesondere sind die positiv semidefinit.

Die beschreiben die verschiedenen Messergebnisse: Wenn das System im Zustand ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats gegeben durch .

Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer Von-Neumann-Messung (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.

Insbesondere für die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände oder bei Abhörstrategien in der Quantenkryptographie relevant.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Diane Martinez, Jody Trout: Asymptotic Spectral Measures, Quantum Mechanics, and E-theory. In: Communications in Mathematical Physics. Band 226, Nr. 1, 2002, S. 41–60, arxiv:math/0107091.