Probitmodell

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In der Statistik ist das Probitmodell eine Spezifikation eines generalisierten linearen Modells und verwendet eine Probit-Link-Komponente. Probitmodelle wurden von Chester Bliss eingeführt.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Probitmodelle werden wie Logitmodelle dazu verwendet, binäre Zielvariablen zu modellieren, also Größen die nur zwei Werte annehmen können. Beispiele: „Kauft ein Produkt – Ja/Nein“, „Lässt sich scheiden – Ja/Nein“, „Hat Abitur – Ja/Nein“.

Definition und Schätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weil die Response eine Reihe von binomialen Werten darstellt, ist die Likelihood der Annahme unterworfen, dass sie einer Binomialverteilung folgt. Sei Y die Response und X der Vektor der erklärenden Variablen. Das Probitmodell hat die Annahme, dass gilt

\Pr(Y=1|X=x) = \Phi(x'\beta),

wobei \Phi die Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung bezeichnet. Die Parameter \beta werden typischerweise mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt.

Das Probitmodell kann durch ein einfaches latentes Variablenmodell erhalten werden. Unter der Annahme, dass

y^* = x'\beta + \epsilon,

wobei \epsilon\sim N(0,1), und dass Y einen Indikator dafür darstellt, ob die latente Variable y^* positiv ist:

Y\;\stackrel{\mathrm{def}}{=}\;1 \Leftrightarrow y^*>0.

Dann kann man zeigen, dass folgende Gleichung erfüllt ist:

\Pr(Y=1 | X=x) = \Phi(x'\beta)