Punktetrennende Menge

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Eine punktetrennende Menge[1] ist in der Mathematik eine Menge von Funktionen auf einem gegebenen Raum, sodass sich je zwei Punkte des Raumes anhand ihrer Funktionswerte bzgl. dieser Funktionen unterscheiden lassen. Der Begriff findet Anwendung in der allgemeinen Topologie und der Funktionalanalysis.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Menge. Eine Menge von Funktionen mit Definitionsbereich heißt punktetrennend, wenn für je zwei Elemente mit eine Funktion existiert, sodass .[2]

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei wiederum eine Menge und eine Menge von Funktionen auf . Nun lässt sich die Auswertungsabbildung

durch definieren ( sei dabei die Zielmenge von ). Diese ist genau dann injektiv, wenn punktetrennend ist.[3]

Ist ein topologischer Raum und die Menge aller -wertigen stetigen Funktionen auf , so ist der Abschluss des Bildes von die Stone-Čech-Kompaktifizierung von . Ist punktetrennend (das heißt ist vollständiger Hausdorff-Raum), so liefert also eine Identifizierung der Menge mit einer Teilmenge der Stone-Čech-Kompaktifizierung.[4]

Sei allgemeiner eine beliebige Menge von Funktionen auf in topologische Räume. Die Auswertungsabbildung ist genau dann eine Einbettung, wenn die Initialtopologie bezüglich trägt und punktetrennend ist. Diese Initialtopologie heißt auch schwache Topologie bezüglich , insbesondere in der Funktionalanalysis, wenn eine Menge linearer Funktionale auf einem Vektorraum ist. Ist der Zielraum jeder Funktion in ein Hausdorffraum, so ist die schwache Topologie bezüglich genau dann hausdorffsch, wenn punktetrennend ist. Ist eine Menge von linearen Funktionalen auf einem Vektorraum, lassen sich die Punktetrennung und somit die Hausdorffeigenschaft der schwachen Topologie durch die Bedingung charakterisieren, dass

gilt. Insbesondere folgt aus dem Satz von Hahn-Banach, dass die Menge aller stetigen linearen Funktionale auf einem lokalkonvexen Hausdorffraum punktetrennend und somit die schwache Topologie auf einem solchen Raum hausdorffsch ist.[5]

Der Satz von Stone-Weierstraß liefert, dass eine Unteralgebra der Algebra der -Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum genau dann dicht in liegt, wenn sie punktetrennend ist und keinen Punkt stets auf die abbildet.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Punktetrennende Menge. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Band ?. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8, S. ?.
  2. Nicolas Bourbaki: Topologie Générale (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-33936-1, Kap. 9, S. 9.
  3. Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, 1970, S. 56.
  4. Bourbaki: Topologie Générale. S. 10.
  5. Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 60, 63.